近世代数——群
群 循环群 群内所有的元素,都可以由特定元素(生成元)通过幂运算得到 定理 循环群的子群也是循环群 循环群的阶与生成元的阶相同 同阶的循环群同构 变换群 由集合的一一变换运算构成的群的子群 凯莱定理 任何一个群都和一个变换群同构 置换群 一个有限集合的若干个置换作为一个群叫做一个置换群 n 次对称群 包含 n 个元的集合的全体置换做成的群叫做 n 次对称群 使用 S n 表示,阶为 n! 描述 行列式形式 r-轮换形式 置换群的计算 性质 每一个有限群都和一个置换群同构 每一个 n 个元素的置换 π 都可以写成若干个不相交轮换的乘积 S n 中的一个 r 轮换的阶为 r 陪集 对于群 G 和其一个子群 H,规定一个关系 R: aRb(当且仅当 ab -1 =H)R 是一个等价关系是,可以获得 G 的分类,叫做陪集 左右陪集 左陪集 aH (代表在左边) 右陪集 Ha (代表在右边) 性质 分类的代表也存在于对应的陪集中 H 对应的分类是 H 本身 群的每一个元素都必将属于(且只属于)一个陪集 群 G 按照陪集分类后,不存在其他子群 定理 H 和其每一个陪集存在一一映射,且含有相同的元素个数 左右存在一一映射关系,且左右陪集个数相等 拉格朗日定理 子群的阶都是有限母群阶的因子,设 H 是有限群 G 的一个子群,那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N,并且 N=nj 正规子群 一个群 G 的子群 N 叫做一个正规子群,假如对于 G 的每一个元 a 来说,都有 Na=aN,记作 N⊲G。一个正规子群 N 的一个左(右)陪集叫做 N 的一个陪集 不变子群 N 刚好包含群 G 的所有具有以下性质的元 n,∀a∈G,na=an。那么 N 是 G 的一个不变子群 一个群 G 和 e 总是不变子群 充要条件 ∀a∈G,ana −1 = N ∀a∈G,∀n∈N⇒ana −1 ∈N ∀a∈G,∀n∈N⇒a −1 na∈N 商群 一个群 G 的一个正规子群 N 的陪集所构成的群叫做一个商群,使用符号 G/N 表示 G/N 的阶等于 G 的阶除以 N 的阶 原始定义 半群 代数系统 二元运算 运算封闭 满足结合律 含有幺元(单位元) 单位元是唯一的 加法单位元: 0 乘法单位元: 1 每个元素都有逆元 逆元是唯一的 等价定义 aa -1 =e(∀a∃a -1 ) 对于右单位元,所有元素均左可逆 对于右单位元,所有元素均右可逆 任意的 G 中元素 a、b,方程 ax=b, ya=bax=b,ya=b 有解 交换群(阿贝尔群) 满足交换律的群 阶 群元素的阶 元素自运算得到单位元的最小运算次数 群的阶 群元素个数 子群 满足群运算的子集对应的群 等价定义 任意两个元素运算后属于子群,且逆也在子群中 ab,a -1 ∈H 元素和另一个元素的逆属于子群 ab -1 ∈ H 性质 传递性 子群的子群也是子群 遗传性 单位元和逆元对应存在 群同态基本定理 假定 G1 和 G2 是两个群,并且 G1 与 G2 满同态,那么这个同态映射 f 的核 N 是 G 的一个正规子群,并且 G/N≅G,即 G/Kerf≅Imf 半群和含幺半群
定义 设 S S S 是一个非空集合,若 S S S 上存在一个二元运算 ∘ \circ ∘ ,满足结合律,即对任意 a , b , c ∈ S a,b,c \in S a , b , c ∈ S 有 a ∘ ( b ∘ c ) = ( a ∘ b ) ∘ c a \circ(b \circ c) = (a \circ b) \circ c a ∘ ( b ∘ c ) = ( a ∘ b ) ∘ c (结合律),则称代数系统 ( S , ∘ ) (S,\circ) ( S , ∘ ) 为半群。
半群要求:
对于半群,其存在幂运算 a n = a ∘ a ∘ ⋯ ∘ a ⏞ n 个 a^n = \overbrace{a \circ a \circ \dots \circ a}^{n\text{个}} a n = a ∘ a ∘ ⋯ ∘ a n 个
易证:a m a n = a m + n , ( a m ) n = a m n , ∀ a ∈ M , m , n ∈ N a^ma^n=a^{m+n},(a^m)^n=a^{mn},\forall a \in M,m,n \in N a m a n = a m + n , ( a m ) n = a m n , ∀ a ∈ M , m , n ∈ N
需要特别注意的是,这里的幂运算依赖于运算系统的运算,也即对于加法系统,幂运算实际上是乘法;对于乘法系统,才是通常意义的幂运算
定义 对于二元运算,如果满足下述条件,则称 ( M , ∘ ) (M,\circ) ( M , ∘ ) 为含幺半群,e e e 为单位元(幺元)
∀ a , b , c ∈ M \forall a,b,c \in M ∀ a , b , c ∈ M ,有 a ∘ ( b ∘ c ) = ( a ∘ b ) ∘ c a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c a ∘ ( b ∘ c ) = ( a ∘ b ) ∘ c
∃ e ∈ M \exists e \in M ∃ e ∈ M ,使 ∀ a ∈ M , e ∘ a = a ∘ e = a \forall a \in M, e \circ a = a \circ e = a ∀ a ∈ M , e ∘ a = a ∘ e = a
定义 : 含幺半群中单位元是唯一的
证明
设 e 1 , e 2 e_1,e_2 e 1 , e 2 均为单位元,只需证 e 1 = e 2 e_1=e_2 e 1 = e 2
有 e 1 = e 1 ∘ e 2 = e 2 e_1=e_1 \circ e_2=e_2 e 1 = e 1 ∘ e 2 = e 2 ,故得证
定义 如果半群 ( S , ∘ ) (S,\circ) ( S , ∘ ) 中的二元运算 ∘ \circ ∘ 是可交换的(∀ a , b ∈ S , a ∘ b = b ∘ a \forall a,b \in S, a \circ b=b \circ a ∀ a , b ∈ S , a ∘ b = b ∘ a ),则称 ( S , ∘ ) (S,\circ) ( S , ∘ ) 是可换半群
定义 元素 a a a 满足 a 2 = a a^2=a a 2 = a ,则称 a a a 为幂等元
定义 如果含幺半群 ( M , ∘ ) (M,\circ) ( M , ∘ ) 满足 m ∈ M m \in M m ∈ M ,使得 M = { m n ∣ n 为非负整数 } M=\{m^n | n \text{为非负整数}\} M = { m n ∣ n 为非负整数 } ,则 M M M 为循环含幺半群 ,m m m 为循环含幺半群的生成元
定义 设 ( S , ∘ ) (S,\circ) ( S , ∘ ) 和 ( T , ∗ ) (T,*) ( T , ∗ ) 是两个半群,映射 f : S → T f: S \rightarrow T f : S → T 称为 S S S 到 T T T 的半群同态映射 。若 a , b ∈ S a,b \in S a , b ∈ S ,有 f ( a ∘ b ) = f ( a ) ∗ f ( b ) f(a \circ b)=f(a) * f(b) f ( a ∘ b ) = f ( a ) ∗ f ( b )
如果 f f f 为满射,则称 f f f 是 S → T S \rightarrow T S → T 的满同态;
如果 f f f 为单射,则称 f f f 是 S → T S \rightarrow T S → T 的单一同态;
如果 f f f 为双射,则称 f f f 是 S → T S \rightarrow T S → T 的同构映射(简称同构),记作 S ≅ T S \cong T S ≅ T ;
如果代数系统 ( S , ∘ ) (S,\circ) ( S , ∘ ) ,( T , ∗ ) (T,*) ( T , ∗ ) 且映射 f : S → T f: S \rightarrow T f : S → T 称 S S S 到 T T T 的满同态
若 ( S , ∘ ) (S,\circ) ( S , ∘ ) 是半群,则 ( T , ∗ ) (T,*) ( T , ∗ ) 也是半群
若 ( S , ∘ ) (S,\circ) ( S , ∘ ) 是含幺半群,则 ( T , ∗ ) (T,*) ( T , ∗ ) 也是含幺半群,且单位元对应单位元
群
定义 一个含幺半群 ( G , ∘ ) (G,\circ) ( G , ∘ ) ,如果 G G G 的每一元均有逆元,即群是一个具有二元运算的集合,且满足下面三个条件:
结合律:∀ a , b , c ∈ G , a ∘ ( b ∘ c ) = ( a ∘ b ) ∘ c \forall a,b,c \in G, a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c ∀ a , b , c ∈ G , a ∘ ( b ∘ c ) = ( a ∘ b ) ∘ c
单位元:∀ a ∈ G , ∃ e , e ∘ a = a ∘ e = a \forall a \in G, \exists e, e \circ a = a \circ e = a ∀ a ∈ G , ∃ e , e ∘ a = a ∘ e = a
逆元: ∀ a ∈ G , ∃ a − 1 ∈ G , a ∘ a − 1 = a − 1 ∘ a = e \forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e ∀ a ∈ G , ∃ a − 1 ∈ G , a ∘ a − 1 = a − 1 ∘ a = e
要证明是一个群,需要分别证明以下 5 点 :
运算为二元运算
运算封闭
满足结合律
存在单位元
每个元素都有逆元
定义 满足交换律的群,也称阿贝尔群
定理 群 ( G , ∘ ) (G,\circ) ( G , ∘ ) 中元素 a a a 的逆元是唯一的
证明
设 a 1 , a 2 a_1, a_2 a 1 , a 2 均为 a a a 的逆元,只需证 a 1 = a 2 a_1 = a_2 a 1 = a 2 。
a 1 ∘ a = a ∘ a 1 = e a_1 \circ a = a \circ a_1 = e a 1 ∘ a = a ∘ a 1 = e
a 2 ∘ a = a ∘ a 2 = e a_2 \circ a = a \circ a_2 = e a 2 ∘ a = a ∘ a 2 = e
a 1 = a 1 ∘ e = a 1 ∘ ( a ∘ a 2 ) = ( a 1 ∘ a ) ∘ a 2 = e ∘ a 2 = a 2 a_1 = a_1 \circ e = a_1 \circ (a \circ a_2) = (a_1 \circ a) \circ a_2 = e \circ a_2 = a_2 a 1 = a 1 ∘ e = a 1 ∘ ( a ∘ a 2 ) = ( a 1 ∘ a ) ∘ a 2 = e ∘ a 2 = a 2
群的等价定义
对于半群 G G G ,下述内容等价
G G G 是群
G G G 有左单位元 l l l ,而且 ∀ a ∈ G \forall a \in G ∀ a ∈ G 关于这个左单位元 l l l 都是左可逆(∀ a ∈ G , ∃ b ∈ G , b a = l \forall a \in G, \exists b \in G, ba=l ∀ a ∈ G , ∃ b ∈ G , b a = l )
G G G 有右单位元 r r r ,而且 ∀ a ∈ G \forall a \in G ∀ a ∈ G 关于这个右单位元 r r r 都是右可逆(∀ a ∈ G , ∃ b ∈ G , a b = r \forall a \in G, \exists b \in G, ab=r ∀ a ∈ G , ∃ b ∈ G , a b = r )
∀ a , b ∈ G \forall a,b \in G ∀ a , b ∈ G , 方程 a x = b , y a = b ax=b, ya=b a x = b , y a = b 有解
定义 对于群 ( G , ∘ ) (G, \circ) ( G , ∘ ) 中的一个元素 a a a ,满足 a n = e a^n = e a n = e 的最小正整数 n n n 称为元素 a a a 的阶。记作 o ( a ) = n o(a)=n o ( a ) = n 或 ∣ a ∣ = n |a|=n ∣ a ∣ = n ;若不存在这样的 n n n ,则元素 a a a 是无限阶,记作 o ( a ) = ∞ o(a)=\infty o ( a ) = ∞ 或 ∣ a ∣ = ∞ |a|=\infty ∣ a ∣ = ∞
定理 群元素 a a a 与其逆元素 a − 1 a^{-1} a − 1 有相同的阶
定义 群 ( G , ∘ ) (G,\circ) ( G , ∘ ) 中元素的个数称为群 G G G 的阶;当群元素有限时,称为有限群;当群元素无限时,称为无限群
定理 设 G G G 为一个有限半群,若 G G G 的运算适合左、右消去律,则 G G G 为群
子群
定义 设 H H H 是群 G G G 的一个非空子集,若 H H H 对 G G G 的乘法构成群,则称 H H H 为 G G G 的子群 ,称为 H ≤ G H \le G H ≤ G
任意群 G G G ,都有两个子群:{ e } \{e\} { e } 和 G G G ,这两个群称为群 G G G 的平凡子群 。
若 H ≤ G H \le G H ≤ G ,且 H ≠ G H \ne G H = G ,则称 H H H 是 G G G 的一个真子群,记为 H < G H \lt G H < G
性质
传递性:H ≤ K , K ≤ G ⇒ H ≤ G H \le K, K \le G \Rightarrow H \le G H ≤ K , K ≤ G ⇒ H ≤ G
遗传性:H ≤ K , ∀ a ∈ H , e H = e G , a H − 1 = a G − 1 H \le K, \forall a \in H, e_H=e_G, a^{-1}_H = a^{-1}_G H ≤ K , ∀ a ∈ H , e H = e G , a H − 1 = a G − 1
子群等价定义
对于群 G G G ,∅ ≠ H ⊆ ∣ G \empty \ne H \subseteq | G ∅ = H ⊆ ∣ G ,下列定义等价
H ≤ G H \le G H ≤ G
∀ a , b ∈ H , a b ∈ H , a − 1 ∈ H \forall a,b \in H, ab \in H, a^{-1} \in H ∀ a , b ∈ H , a b ∈ H , a − 1 ∈ H
∀ a , b ∈ H , a b − 1 ∈ H \forall a,b \in H, ab^{-1} \in H ∀ a , b ∈ H , a b − 1 ∈ H
群同态
定理 设 G G G 为群,G ‾ \overline{G} G 为一个带有乘法运算的非空集合,若存在 f : G → G ‾ f: G \rightarrow \overline{G} f : G → G 为满同态映射,则 G ‾ \overline{G} G 也是一个群
定理 假定 G G G 和 G ‾ \overline{G} G 是两个群,在 G G G 到 G ‾ \overline{G} G 的一个同态满射 f f f 之下,G G G 的单位元 e e e 的像 f ( e ) f(e) f ( e ) 是 G ‾ \overline{G} G 的单位元,G G G 中元素 a a a 的逆元 a − 1 a^{-1} a − 1 的像 f ( a − 1 ) f(a^{-1}) f ( a − 1 ) 是 G ‾ \overline{G} G 中元素 f ( a ) f(a) f ( a ) 的逆元
定义 设 G G G 和 G ′ G' G ′ 都是群,f f f 是 G G G 到 G ′ G' G ′ 的映射,若 f f f 保持运算,即 ∀ x , y ∈ G , f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) \forall x,y \in G, f(xy)=f(x)f(y) ∀ x , y ∈ G , f ( x y ) = f ( x ) f ( y ) ,则称 f f f 是 G G G 到 G ′ G' G ′ 的同态
若 f f f 为单射,则称 f f f 为单同态
若 f f f 为满射,则称 f f f 为满同态,并称 G G G 和 G ′ G' G ′ 同态,记作 G ∽ G ′ G \backsim G' G ∽ G ′
若 f f f 为双射,则称 f f f 为同构,并称 G G G 和 G ′ G' G ′ 同构,记作 G ≅ G ′ G \cong G' G ≅ G ′
循环群
定义 设 G G G 是一个群,a ∈ G a \in G a ∈ G 。若 ∀ b ∈ G \forall b \in G ∀ b ∈ G ,均存在 n ∈ Z n \in \bm{Z} n ∈ Z ,使得 b = a n b=a^n b = a n ,则称 G G G 是由 a a a 生成的循环群,a a a 叫做 G G G 的一个生成元,记作 G = < a > G=<a> G = < a >
定理 循环群 G = < a > G=<a> G = < a > 的子群也是循环群
定理 设 g g g 是群 ( G , ∘ ) (G, \circ) ( G , ∘ ) 中的任意元素,g g g 的阶为 m m m ,则 G 1 = { g r ∣ r ∈ Z } G_1 = \{g^r | r \in \bm{Z}\} G 1 = { g r ∣ r ∈ Z } 是 G G G 的 m m m 阶子群
循环群的阶与生成元的阶相同:群 G = < a > G=<a> G = < a > ,∣ G ∣ = o ( a ) |G|=o(a) ∣ G ∣ = o ( a )
o ( a ) = m o(a)=m o ( a ) = m ,则 ∣ G ∣ = m , G = { e = a 0 , a 1 , ⋯ , a m − 1 } |G|=m, G=\{e=a^0,a^1,\cdots,a^{m-1}\} ∣ G ∣ = m , G = { e = a 0 , a 1 , ⋯ , a m − 1 }
o ( a ) = ∞ o(a)=\infty o ( a ) = ∞ ,则 ∣ G ∣ = ∞ , G = { ⋯ , a − 2 , a − 1 , a 0 , a 1 , a 2 ⋯ } |G|=\infty, G=\{\cdots, a^{-2},a^{-1}, a^0, a^1, a^2 \cdots\} ∣ G ∣ = ∞ , G = { ⋯ , a − 2 , a − 1 , a 0 , a 1 , a 2 ⋯ }
定理 同阶的循环群同构
对于循环群的存在存在问题、数量问题、构造问题都以能解答,循环群已完全在我们掌握之中
变换群
定义
变换 : 设 M M M 是一个非空集合,若 τ \tau τ 是 M M M 到 M M M 的运算 τ : M → M \tau: M \rightarrow M τ : M → M 。则称 τ \tau τ 是 M M M 的一个变换
变换集合 :
由 M M M 的全体变换做成的集合,记为 T ( M ) T(M) T ( M ) (∣ T ( M ) ∣ = n n |T(M)| = n^n ∣ T ( M ) ∣ = n n )
由 M M M 的全体一一变换做成的集合记为 S ( M ) S(M) S ( M ) (∣ S ( M ) ∣ = n ! |S(M)|=n! ∣ S ( M ) ∣ = n ! )
变换乘法 : τ 1 , τ 2 ∈ T ( M ) \tau_1,\tau_2 \in T(M) τ 1 , τ 2 ∈ T ( M ) ,规定 ∀ a ∈ M \forall a \in M ∀ a ∈ M ,有 τ 1 τ 2 ( a ) = τ 1 ( τ 2 ( a ) ) \tau_1 \tau_2 (a)= \tau_1(\tau_2(a)) τ 1 τ 2 ( a ) = τ 1 ( τ 2 ( a ) ) ,称 τ 1 τ 2 \tau_1\tau_2 τ 1 τ 2 为 τ 1 \tau_1 τ 1 和 τ 2 \tau_2 τ 2 的乘法
恒等变换 ϵ \epsilon ϵ ∀ τ ∈ T ( M ) , ϵ τ = τ \forall \tau \in T(M), \epsilon \tau = \tau ∀ τ ∈ T ( M ) , ϵ τ = τ
定义 集合 A A A 的所有一一变换构成的集合 E ( A ) E(A) E ( A ) ,关于变换的合成运算 ∘ \circ ∘ 所构成的群 ( E ( A ) , ∘ ) (E(A),\circ) ( E ( A ) , ∘ ) ,称为 A A A 的一一变换群 ,( E ( A ) , ∘ ) (E(A),\circ) ( E ( A ) , ∘ ) 的子群称为变换群
一个变换群的例子
对于 M = { 1 , 2 } M=\{1,2\} M = { 1 , 2 } ,M M M 的全部变换如下:
τ 1 : 1 → 1 , 2 → 1 \tau_1: 1 \rightarrow 1, 2 \rightarrow 1 τ 1 : 1 → 1 , 2 → 1
τ 2 : 1 → 2 , 2 → 2 \tau_2: 1 \rightarrow 2, 2 \rightarrow 2 τ 2 : 1 → 2 , 2 → 2
τ 3 : 1 → 2 , 2 → 1 \tau_3: 1 \rightarrow 2, 2 \rightarrow 1 τ 3 : 1 → 2 , 2 → 1
ϵ : 1 → 1 , 2 → 2 \epsilon: \enspace 1 \rightarrow 1, 2 \rightarrow 2 ϵ : 1 → 1 , 2 → 2
其运算表如下:
τ 1 \bm{\tau_1} τ 1
τ 2 \bm{\tau_2} τ 2
τ 3 \bm{\tau_3} τ 3
ϵ \bm{\epsilon} ϵ
τ 1 \bm{\tau_1} τ 1
τ 1 \tau_1 τ 1
τ 2 \tau_2 τ 2
τ 2 \tau_2 τ 2
τ 1 \tau_1 τ 1
τ 2 \bm{\tau_2} τ 2
τ 1 \tau_1 τ 1
τ 2 \tau_2 τ 2
τ 1 \tau_1 τ 1
τ 2 \tau_2 τ 2
τ 3 \bm{\tau_3} τ 3
τ 1 \tau_1 τ 1
τ 2 \tau_2 τ 2
ϵ \epsilon ϵ
τ 3 \tau_3 τ 3
ϵ \bm{\epsilon} ϵ
τ 1 \tau_1 τ 1
τ 2 \tau_2 τ 2
τ 3 \tau_3 τ 3
ϵ \epsilon ϵ
定理 设 M M M 为非空集合,S ( M ) S(M) S ( M ) 关于变换的乘法构成 M M M 的一个变换群
凯莱定理(Cayley) 任何一个群都和一个变换群同构
变换群的凯莱定理说明,如果可以把所有变换群研究清楚,那么就相当于将所有群都研究清楚了。
证明
假定 G G G 是一个群,G G G 的元是 a , b , c , ⋯ a,b,c,\cdots a , b , c , ⋯
首先构造同构的变换群 G ‾ \overline{G} G
在 G G G 中任意取定一个元 g g g ,那么 τ g : x → g x = g τ \tau_g:x \rightarrow gx= g^\tau τ g : x → g x = g τ 是集合 G G G 的一个变换,因为给了 G G G 的任意元 x x x ,则可以得到一个唯一的 G → G G \rightarrow G G → G 的元 g τ g g^{\tau_g} g τ g ,这样由 G G G 的每一个元 g g g ,可以得到一个 G → G G\rightarrow G G → G 的一个变换 τ g \tau_g τ g 。这样得来的 G G G 的变换构成一个集合 G ‾ = { τ a , τ b , τ c , ⋯ } \overline{G} = \{\tau_a,\tau_b,\tau_c,\cdots\} G = { τ a , τ b , τ c , ⋯ }
∀ g , h ∈ G \forall g,h \in G ∀ g , h ∈ G ,有 ( τ g ∘ τ h ) ( x ) = τ g ( τ h ( x ) ) = τ g ( h x ) = g ( h x ) = ( g h ) x = τ g h ( x ) (\tau_g \circ \tau_h)(x) = \tau_g(\tau_h(x))=\tau_g(hx)=g(hx)=(gh)x=\tau_{gh}(x) ( τ g ∘ τ h ) ( x ) = τ g ( τ h ( x ) ) = τ g ( h x ) = g ( h x ) = ( g h ) x = τ g h ( x )
也即,G ‾ \overline{G} G 关于运算 τ g ∘ τ h = τ g h \tau_g \circ \tau_h = \tau_{gh} τ g ∘ τ h = τ g h 是封闭的
有 ϕ : x → τ x \phi: x \rightarrow \tau_x ϕ : x → τ x 是 G G G 到 G ‾ \overline{G} G 的满射,由消去律 ∀ g ∈ G . x ≠ y ⇒ g x ≠ g y \forall g \in G. x \ne y \Rightarrow gx \ne gy ∀ g ∈ G . x = y ⇒ g x = g y 可知
若 x ≠ y x \ne y x = y ,那么 τ x ≠ τ y \tau_x \ne \tau_y τ x = τ y
也即 ϕ : x → τ x \phi: x \rightarrow \tau_x ϕ : x → τ x 是 G G G 到 G ‾ \overline{G} G 的单射
所以 ϕ \phi ϕ 是 G G G 到 G ‾ \overline{G} G 的一一映射
又有 ϕ ( x y ) = τ x y = τ x ∘ τ y = ϕ ( x ) ∘ ϕ ( y ) \phi(xy) = \tau_{xy} = \tau_x \circ \tau_y = \phi(x) \circ \phi(y) ϕ ( x y ) = τ x y = τ x ∘ τ y = ϕ ( x ) ∘ ϕ ( y )
所以 ϕ \phi ϕ 是 G G G 到 G ‾ \overline{G} G 的同构映射,所以 G ‾ \overline{G} G 是一个群,G G G 的单位元 e e e 的象 τ e : x → e x = x \tau_e: x \rightarrow ex = x τ e : x → e x = x 是 G G G 的恒等变换 ϵ \epsilon ϵ
综上所述,G ‾ \overline{G} G 是 G G G 的一个变换群,这样 G G G 和 G → G G \rightarrow G G → G 的一个变换群 G ‾ \overline{G} G 同构
置换群
定义 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。一个有限集合的若干个置换作为一个群叫做一个置换群
定义 一个包含 n n n 个元的集合的全体置换做成的群叫做 n n n 次对称群 ,使用 S n S_n S n 表示,n n n 次对称群 S n S_n S n 的阶是 n ! n! n !
对于置换 π : i → k i , i = 1 , 2 , 3 , ⋯ \bm{\pi}: i \rightarrow k_i,i=1,2,3,\cdots π : i → k i , i = 1 , 2 , 3 , ⋯ ,可以将其置换描述为下述形式:
( 1 2 ⋯ n k 1 k 2 ⋯ k n ) \begin{pmatrix}
1 & 2 & \cdots & n \\
k_1 & k_2 & \cdots & k_n
\end{pmatrix} ( 1 k 1 2 k 2 ⋯ ⋯ n k n ) 这里第一行的次序没有特别要求,只需要保证上下两行关系对应即可。但通常默认第一行按照顺序写
对于多个置换关系的合成,可以如下计算:
( 1 2 3 1 3 2 ) ( 1 2 3 2 1 3 ) = ( 1 2 3 3 1 2 ) \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
1 & 3 & 2
\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
2 & 1 & 3
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
3 & 1 & 2
\end{pmatrix} ( 1 1 2 3 3 2 ) ( 1 2 2 1 3 3 ) = ( 1 3 2 1 3 2 )
置换的计算方法
这里的计算不是 简单的如下置换(该结果为 ( 1 2 3 2 3 1 ) \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1 \end{pmatrix} ( 1 2 2 3 3 1 ) ,显然与上述结果不同)
%3
cluster_a
cluster_b
cluster_c
a1
1
b1
1
a1->b1
a2
2
b3
3
a2->b3
a3
3
b2
2
a3->b2
c2
2
b1->c2
c1
1
b2->c1
c3
3
b3->c3
错误的置换思路
对于 ( 1 2 3 1 3 2 ) \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\1 & 3 & 2\end{pmatrix} ( 1 1 2 3 3 2 ) ,如果有有序集合 { a , b , c } \{a,b,c\} { a , b , c } ,其置换后的结果应该为 { a , c , b } \{a,c,b\} { a , c , b }
而对该集合继续进行 ( 1 2 3 2 1 3 ) \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3 \end{pmatrix} ( 1 2 2 1 3 3 ) 置换,可以得到 { c , a , b } \{c,a,b\} { c , a , b }
将 { c , a , b } \{c,a,b\} { c , a , b } 与原本的 { a , b , c } \{a,b,c\} { a , b , c } 对比,可以得到置换为 ( 1 2 3 3 1 2 ) \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\3 & 1 & 2 \end{pmatrix} ( 1 3 2 1 3 2 ) ,也即正确的结果
置换合成的正确计算思路应该如下:
只看第二行内容 { 1 , 3 , 2 } \{1,3,2\} { 1 , 3 , 2 } 和 { 2 , 1 , 3 } \{2,1,3\} { 2 , 1 , 3 }
合成后的结果为 { 1 , 3 , 2 } \{1,3,2\} { 1 , 3 , 2 } 的第 2 2 2 个元素,第 1 1 1 个元素,第 3 3 3 个元素的顺序列表,也即 { 3 , 1 , 2 } \{3,1,2\} { 3 , 1 , 2 }
将结果还原成置换矩阵 ( 1 2 3 3 1 2 ) \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix} ( 1 3 2 1 3 2 )
如果对上述过程进行简化,可以发现其就是从右往左计算“错误思路” 。如下图,从右往左即可得到正确结果1 → 3 , 2 → 1 , 3 → 2 1 \rightarrow 3,2 \rightarrow 1,3 \rightarrow 2 1 → 3 , 2 → 1 , 3 → 2 ,即 ( 1 2 3 3 1 2 ) \begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix} ( 1 3 2 1 3 2 )
%3
cluster_a
cluster_b
cluster_c
a1
1
a2
2
a3
3
b1
1
b1->a1
b2
2
b2->a3
b3
3
b3->a2
c1
1
c1->b2
c2
2
c2->b1
c3
3
c3->b3
置换的另一种表示
如果置换 π \bm{\pi} π 是一个长度为 r r r 的轮换(r r r 循环置换)( i 1 , i 2 , ⋯ , i r ) (i_1,i_2,\cdots,i_r) ( i 1 , i 2 , ⋯ , i r ) ,则其有置换关系 i j → i j + 1 i_j \rightarrow i_{j+1} i j → i j + 1
( 1 2 3 4 5 2 3 1 4 5 ) = ( 123 ) = ( 231 ) = ( 312 ) \begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&1&4&5\end{pmatrix}=(123)=(231)=(312) ( 1 2 2 3 3 1 4 4 5 5 ) = ( 1 2 3 ) = ( 2 3 1 ) = ( 3 1 2 )
( 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 ) = ( 12345 ) = ( 23451 ) = ⋯ = ( 51234 ) \begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\end{pmatrix}=(12345)=(23451)=\cdots=(51234) ( 1 2 2 3 3 4 4 5 5 1 ) = ( 1 2 3 4 5 ) = ( 2 3 4 5 1 ) = ⋯ = ( 5 1 2 3 4 )
( 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ) = ( 1 ) = ( 2 ) = ( 3 ) = ( 4 ) = ( 5 ) \begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}=(1)=(2)=(3)=(4)=(5) ( 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 ) = ( 1 ) = ( 2 ) = ( 3 ) = ( 4 ) = ( 5 )
定理 S n S_n S n 中的一个 r r r 轮换的阶为 r r r
定理 每一个 n n n 个元素的置换 π \bm{\pi} π 都可以写成若干个不相交轮换的乘积
定理 每一个有限群都和一个置换群同构
正规子群
陪集
群的积
设 G G G 为群,A , B A,B A , B 是群 G G G 的两个非空子集,A B = { a b ∣ a ∈ A , b ∈ B } AB=\{ab|a \in A,b \in B\} A B = { a b ∣ a ∈ A , b ∈ B } 。
若 B = { g } B=\{g\} B = { g } ,则:
A g = A B = { a g ∣ a ∈ A } Ag=AB=\{ag|a\in A\} A g = A B = { a g ∣ a ∈ A }
g A = B A = { g a ∣ a ∈ A } gA=BA=\{ga|a \in A\} g A = B A = { g a ∣ a ∈ A }
定义 对于群 G G G 和其一个子群 H H H ,规定一个关系 R : a R b R: aRb R : a R b (当且仅当 a b − 1 = H ab^{-1}=H a b − 1 = H )
R R R 是一个等价关系:
a a − 1 = e ∈ H aa^{-1}=e \in H a a − 1 = e ∈ H
a b − 1 ∈ H ⇒ ( a b − 1 ) − 1 = b a − 1 ab^{-1} \in H \Rightarrow (ab^{-1})^{-1}=ba^{-1} a b − 1 ∈ H ⇒ ( a b − 1 ) − 1 = b a − 1
a b − 1 ∈ H , b c − 1 ∈ H ⇒ ( a b − 1 ) ( b c − 1 ) = a c − 1 ∈ H ab^{-1} \in H,bc^{-1} \in H \Rightarrow (ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1} \in H a b − 1 ∈ H , b c − 1 ∈ H ⇒ ( a b − 1 ) ( b c − 1 ) = a c − 1 ∈ H
故 a R b , b R c ⇒ a R c aRb,bRc \Rightarrow aRc a R b , b R c ⇒ a R c
使用该等价关系可以获得一个 G G G 的分类,这种类就是陪集
对于一个群 G G G 的子群 H H H ,可以根据等价关系 a b − 1 ∈ H ab^{-1}\in H a b − 1 ∈ H ,来将整个群分为多个等价类。
称 H a Ha H a 为 G G G 关于 H H H 的一个右陪集 (代表写在右边)
同理,也有 a H aH a H 为 G G G 关于 H H H 的一个左陪集 (代表写在左边)
整数加群的例子
对于整数加群 ( z , + ) (z,+) ( z , + ) ,模 4 4 4 剩余类:[ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] [0],[1],[2],[3] [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] ,构成 ( z , + ) (z,+) ( z , + ) 的一个分类 Z 4 = { [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] } \bm{Z}_4=\{[0],[1],[2],[3]\} Z 4 = { [ 0 ] , [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] } 。
其中:
只有 [ 0 ] [0] [ 0 ] 一个子集(别的运算不封闭且没有单位元)
每一个类刚好是这个子群“乘”上这个类的一个元素:[ i ] = i + [ 0 ] [i]=i+[0] [ i ] = i + [ 0 ]
三次对称群的例子
三次对称群 S 3 = { ( 1 ) , ( 12 ) , ( 13 ) , ( 23 ) , ( 123 ) , ( 132 ) } S_3=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\} S 3 = { ( 1 ) , ( 1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 2 3 ) , ( 1 2 3 ) , ( 1 3 2 ) }
其有交错群子群 A 3 = { ( 1 ) , ( 123 ) , ( 132 ) } A_3=\{(1),(123),(132)\} A 3 = { ( 1 ) , ( 1 2 3 ) , ( 1 3 2 ) }
A 3 ( 1 ) = A 3 = A 3 ( 123 ) = A 3 ( 132 ) A_3(1)=A_3=A_3(123)=A_3(132) A 3 ( 1 ) = A 3 = A 3 ( 1 2 3 ) = A 3 ( 1 3 2 )
A 3 ( 12 ) = { ( 12 ) , ( 13 ) , ( 23 ) } = A 3 ( 13 ) = A 3 ( 23 ) A_3(12)=\{(12),(13),(23)\}=A_3(13)=A_3(23) A 3 ( 1 2 ) = { ( 1 2 ) , ( 1 3 ) , ( 2 3 ) } = A 3 ( 1 3 ) = A 3 ( 2 3 )
也即 S 3 S_3 S 3 的全部 6 6 6 个元素已经被 A 3 A_3 A 3 分为两个等价类 S 3 = A 3 ( 1 ) ⋃ A 3 ( 12 ) S_3=A_3(1)\bigcup A_3(12) S 3 = A 3 ( 1 ) ⋃ A 3 ( 1 2 )
对一个群进行分类的题目,可以先选取一个子群,使用所有的元素“乘”这个子群,可以发现有些结果是相同的,可以从不同的结果中分别选取一个代表作为陪集的代表。
性质 (以左陪集为例)
a ∈ a H a \in aH a ∈ a H (分类的代表在该分类中)
a ∈ H ⇔ a H = H a \in H \Leftrightarrow aH=H a ∈ H ⇔ a H = H (子集 H H H 的分类对应的陪集是 H H H 本身)
b ∈ a H ⇔ a H = b H ⇔ a − 1 b ∈ H b\in aH \Leftrightarrow aH=bH \Leftrightarrow a^{-1}b \in H b ∈ a H ⇔ a H = b H ⇔ a − 1 b ∈ H (对于右陪集为 b a − 1 ∈ H ba^{-1} \in H b a − 1 ∈ H )
a H ⋂ b H ≠ ∅ ⇒ a H = b H aH \bigcap bH \ne \empty \Rightarrow aH=bH a H ⋂ b H = ∅ ⇒ a H = b H
群 G G G 的每个元素属于且只属于一个左陪集
群 G G G 按照子群 H H H 的陪集分类后,再无其他子群
定理 陪集之间的关系:一个子群 H H H 和 H H H 的每一个右陪集 H a Ha H a 之间都存在一个一一映射。群 G G G 的任意两个陪集含有相同个数的元素
证明
设 ϕ : h → h a \phi: h \rightarrow ha ϕ : h → h a
H H H 的每一个元 h h h 有一个唯一的像 h a ha h a
H a Ha H a 的每一个元 h a ha h a 是 H H H 中元素 h h h 的像
假设 h 1 a = h 2 a h_1a=h_2a h 1 a = h 2 a ,那么 h 1 = h 2 h_1=h_2 h 1 = h 2
定理 左右陪集的关系:群 G G G 的子群 H H H 左右陪集构成的集合,存在一一映射关系。H H H 在 G G G 中左陪集的个数与右陪集的个数相同
证明
设左陪集所构成的集合为 S l S_l S l ,右陪集构成的集合为 S r S_r S r
构造一个映射 ϕ : H a → a − 1 H \phi: Ha \rightarrow a^{-1}H ϕ : H a → a − 1 H
有:
H a = H b ⇒ 右陪集性质 a b − 1 ∈ H ⇒ 逆也在子群中 ( a b − 1 ) − 1 ∈ H ⇒ b a − 1 ∈ H ⇒ 左陪集性质 a − 1 H = b − 1 H Ha=Hb \overset{\text{右陪集性质}}{\Rightarrow} ab^{-1} \in H \overset{\text{逆也在子群中}}{\Rightarrow} (ab^{-1})^{-1} \in H \Rightarrow ba^{-1} \in H \overset{\text{左陪集性质}}{\Rightarrow} a^{-1}H=b^{-1}H H a = H b ⇒ 右陪集性质 a b − 1 ∈ H ⇒ 逆也在子群中 ( a b − 1 ) − 1 ∈ H ⇒ b a − 1 ∈ H ⇒ 左陪集性质 a − 1 H = b − 1 H
S l S_l S l 的任意元是 S r S_r S r 的元 H a − 1 Ha^{-1} H a − 1 的像,故 ϕ \phi ϕ 是一个满射
H a ≠ H b ⇒ a b − 1 ∉ H ⇒ ( a b − 1 ) − 1 = b a − 1 ∉ H ⇒ a − 1 H ≠ b − 1 H Ha \ne Hb \Rightarrow ab^{-1} \notin H \Rightarrow (ab^{-1})^{-1}=ba^{-1} \notin H \Rightarrow a^{-1}H \ne b^{-1}H H a = H b ⇒ a b − 1 ∈ / H ⇒ ( a b − 1 ) − 1 = b a − 1 ∈ / H ⇒ a − 1 H = b − 1 H
也即,ϕ \phi ϕ 是一个一一映射,即左右陪集个数相同
拉格朗日定理
拉格朗日定理
子群的阶都是有限母群阶的因子
设 H H H 是有限群 G G G 的一个子群,那么 H H H 的阶 n n n 和它在 G G G 里的指数 j j j 都能整除 G G G 的阶 N N N ,并且 N = n j N=nj N = n j
推论一 : # H ∣ # G \#H|\#G # H ∣ # G ,子群元素个数是群元素个数的因数
推论二 : 群元素 a a a 的阶是群 G G G 的阶的因数
证明
a a a 生成一个阶是 n n n 的子群,有 n n n 整除 G G G 的阶
推论三 : 每个阶为素数 p p p 的群 G G G 都是循环群
证明
群 G G G 的每个元素 a a a 的阶为 1 1 1 或素数 p p p 。一阶元是单位元,其他元素的阶位素数 p p p
∣ G ∣ = p > 1 |G|=p>1 ∣ G ∣ = p > 1 ,故至少有一个元素的阶为 p p p 。由该元素生成的群为循环群,即 G G G 为循环群
三次对称群 S 3 S_3 S 3 的所有子群
子群的阶是 # S 3 = 6 \#S_3=6 # S 3 = 6 的因子,即 1 , 2 , 3 , 6 1,2,3,6 1 , 2 , 3 , 6
S 3 S_3 S 3 的 1 1 1 阶子群: { ( 1 ) } \{(1)\} { ( 1 ) }
S 3 S_3 S 3 的 2 2 2 阶子群: 必是循环群,{ ( 1 ) , ( 12 ) } , { ( 1 ) , ( 13 ) } , { ( 1 ) , ( 23 ) } \{(1),(12)\},\{(1),(13)\},\{(1),(23)\} { ( 1 ) , ( 1 2 ) } , { ( 1 ) , ( 1 3 ) } , { ( 1 ) , ( 2 3 ) }
S 3 S_3 S 3 的 3 3 3 阶子群: 必是循环群,{ ( 1 ) } \{(1)\} { ( 1 ) }
S 3 S_3 S 3 的 6 6 6 阶子群: S 3 S_3 S 3
正规子群
定义 一个群 G G G 的子群 N N N 叫做一个正规子群 ,假如对于 G G G 的每一个元 a a a 来说,都有 N a = a N Na=aN N a = a N ,记作:N ⊲ G N \lhd G N ⊲ G 。一个正规子群 N N N 的一个左(右)陪集叫做 N N N 的一个陪集
例:一个群 G G G 和 e e e 总是不变子群
证明
对于任意 G G G 的元 a a a 来说 G a = a G = G Ga=aG=G G a = a G = G ,e a = a e = a ea=ae=a e a = a e = a
例:N N N 刚好包含群 G G G 的所有具有以下性质的元 n n n ,∀ a ∈ G , n a = a n \forall a \in G,na=an ∀ a ∈ G , n a = a n 。那么 N N N 是 G G G 的一个不变子群
证明
因为 e ∈ N e \in N e ∈ N ,所以 N N N 非空。
n 1 a = a n 1 , n 2 a = a n 2 ⇒ n 1 n 2 a = a n 1 n 2 n_1a = an_1, n_2a=an_2 \Rightarrow n_1n_2a = an_1n_2 n 1 a = a n 1 , n 2 a = a n 2 ⇒ n 1 n 2 a = a n 1 n 2
n a = a n ⇒ n − 1 a = n − 1 a n n − 1 = n − 1 n a n − 1 = a n − 1 na=an \Rightarrow n^{-1}a=n^{-1}ann^{-1}=n^{-1}nan^{-1}=an^{-1} n a = a n ⇒ n − 1 a = n − 1 a n n − 1 = n − 1 n a n − 1 = a n − 1
故 n 1 , n 2 ∈ N , n − 1 ∈ N n_1,n_2 \in N,n^{-1} \in N n 1 , n 2 ∈ N , n − 1 ∈ N ,即 N N N 是一个子群
G G G 的每一个元 a a a 可以同 N N N 的每一个元 n n n 交换,有 N a = a N Na=aN N a = a N ,即 N N N
定理 一个群 G G G 的一个子群 N N N 是一个正规子群的充分必要条件是(任选其一)
∀ a ∈ G , a n a − 1 = N \forall a \in G, ana^{-1} = N ∀ a ∈ G , a n a − 1 = N
∀ a ∈ G , ∀ n ∈ N ⇒ a n a − 1 ∈ N \forall a \in G, \forall n \in N \Rightarrow ana^{-1} \in N ∀ a ∈ G , ∀ n ∈ N ⇒ a n a − 1 ∈ N
∀ a ∈ G , ∀ n ∈ N ⇒ a − 1 n a ∈ N \forall a \in G, \forall n \in N \Rightarrow a^{-1}na \in N ∀ a ∈ G , ∀ n ∈ N ⇒ a − 1 n a ∈ N
定理 设 ( G 1 , ∘ ) (G_1,\circ) ( G 1 , ∘ ) 与 ( G 2 , ∘ ) (G_2,\circ) ( G 2 , ∘ ) 是群 ( G , ∘ ) (G,\circ) ( G , ∘ ) 的正规子群,则 ( G 1 G 2 , ∘ ) (G_1G_2,\circ) ( G 1 G 2 , ∘ ) 是群 ( G , ∘ ) (G,\circ) ( G , ∘ ) 的正规子群
商群
定理 一个正规子群的陪集对于 ( x N ) ( y N ) = ( x y ) N (xN)(yN)=(xy)N ( x N ) ( y N ) = ( x y ) N 的乘法来说构成一个群
定义 一个群 G G G 的一个正规子群 N N N 的陪集所构成的群叫做一个商群 ,使用符号 G / N G/N G / N 表示
G 的阶 N 的阶 = G / N 的阶 \frac{G\text{的阶}}{N\text{的阶}}=G/N\text{的阶} N 的阶 G 的阶 = G / N 的阶
定理 设 H H H 是群 ( G , ∘ ) (G, \circ) ( G , ∘ ) 的子群,H H H 在 G G G 中的指数为 2 2 2 ,即 # ( G : H ) = 2 \#(G:H)=2 # ( G : H ) = 2 ,则 H H H 是 G G G 的正规子群,且 G G G 关于 H H H 的所有陪集构成的商群 G / H = H g ∣ g ∈ G G/H={Hg|g \in G} G / H = H g ∣ g ∈ G 是二阶循环群
定义 如果一个群 G G G ,除了 { e } \{e\} { e } 和 G G G 之外,没有其他正规子群,则称 G G G 为单群
群同态基本定理
ker f = { g ∈ G ∣ f ( g ) = e H } \ker f=\{g \in G|f(g)=e_H\} ker f = { g ∈ G ∣ f ( g ) = e H } 是 G G G 的正规子群
ℑ f \Im f ℑ f 是 H H H 的正规子群,且商群 G / K e r f ≅ I m f G/Ker f \cong Im f G / K e r f ≅ I m f
定理 一个群 G G G 与他的每一个商群 G / N G/N G / N 同态
定义 设 ϕ \phi ϕ 是一个群 G G G 到另一个群 G ‾ \overline{G} G 的一个同态满射,G ‾ \overline{G} G 的单位元 e ‾ \overline{e} e 在 ϕ \phi ϕ 之下的所有逆像所做成的 G G G 的子集叫做同态满射 ϕ \phi ϕ 的核,记作 ker ϕ : = { a ∣ a ∈ G , ϕ ( a ) = e ‾ } \ker\phi: = \{a|a \in G, \phi(a)=\overline{e}\} ker ϕ : = { a ∣ a ∈ G , ϕ ( a ) = e }
定理 设 f f f 是 G → H G \rightarrow H G → H 的群同态映射,则:f f f 是单一同态当且仅当 ker ( f ) = { e G } \ker(f)=\{e_G\} ker ( f ) = { e G }
群同态基本定理 假定 G G G 和 G ‾ \overline{G} G 是两个群,并且 G G G 与 G ‾ \overline{G} G 满同态,那么这个同态映射 f f f 的核 N N N 是 G G G 的一个正规子群,并且 G / N ≅ G ‾ G/N \cong \overline{G} G / N ≅ G ,即 G / ker f ≅ Im f G/\ker f \cong \text{Im}f G / ker f ≅ Im f
定义 假定 ϕ \phi ϕ 是集合 A A A 到集合 A ‾ \overline{A} A 的一个满射,则
S ‾ \overline{S} S 是 A A A 的一个子集 S S S 在 ϕ \phi ϕ 之下的像,假如 S ‾ \overline{S} S 刚好包含所有 S S S 的元素在 ϕ \phi ϕ 之下的像。即 S ‾ = ϕ ( S ) = { ϕ ( x ) ∣ x ∈ S } \overline{S} = \phi(S) = \{\phi(x) | x \in S\} S = ϕ ( S ) = { ϕ ( x ) ∣ x ∈ S }
S S S 是 A ‾ \overline{A} A 的一个子集 S ‾ \overline{S} S 在 ϕ \phi ϕ 之下的拟像,假如 S S S 刚好包含所有 S ‾ \overline{S} S 的元素在 ϕ \phi ϕ 之下的逆像。即 S = ϕ − 1 ( S ‾ ) = { x ∣ x ∈ A , ϕ ( x ) ∈ S ‾ } S = \phi^{-1}(\overline{S}) = \{x | x \in A, \phi(x)\in\overline{S}\} S = ϕ − 1 ( S ) = { x ∣ x ∈ A , ϕ ( x ) ∈ S }
定理 假定 G G G 和 G ‾ \overline{G} G 是两个群,并且 G G G 与 G ‾ \overline{G} G 同态,那么这个同态满射下:
G G G 的一个子群 H H H 的像 H ‾ \overline{H} H 是 G ‾ \overline{G} G 的一个子群
G G G 的一个正规子群 N N N 的像 N ‾ \overline{N} N 是 G ‾ \overline{G} G 的一个正规子群
G ‾ \overline{G} G 的一个子群 H ‾ \overline{H} H 的逆像 H H H 是 G G G 的一个子群
G ‾ \overline{G} G 的一个正规子群 N ‾ \overline{N} N 的逆像 N N N 是 G G G 的一个正规子群
定理 设 N , H , G N,H,G N , H , G 均为群,N ⊲ G , H ⊲ G N \lhd G, H \lhd G N ⊲ G , H ⊲ G ,并且 N ⊆ H N \subseteq H N ⊆ H ,则有 G / H ≅ G / N H / N G/H \cong \frac{G/N}{H/N} G / H ≅ H / N G / N
定理 若 G = < a > G=<a> G = < a > 是一个循环群,则:
o ( a ) = ∞ ⇒ G ≅ ( Z , + ) o(a) = \infty \Rightarrow G \cong (\bm{Z},+) o ( a ) = ∞ ⇒ G ≅ ( Z , + )
o ( a ) = m ⇒ G ≅ ( Z m , + ) o(a) = m \Rightarrow G \cong (\bm{Z}_m,+) o ( a ) = m ⇒ G ≅ ( Z m , + )
群的构造
两个群 ( G , ∘ ) (G,\circ) ( G , ∘ ) 与 ( H , ∗ ) (H,*) ( H , ∗ ) 的直积 ( G × H , ⋅ ) (G \times H, \cdot) ( G × H , ⋅ ) ,可以通过如下形式的运算来定义: ( g 1 , h 1 ) ⋅ ( g 2 , h 2 ) = ( g 1 ⋅ g 2 , h 1 ∗ h 2 ) (g_1,h_1) \cdot (g_2,h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 * h_2) ( g 1 , h 1 ) ⋅ ( g 2 , h 2 ) = ( g 1 ⋅ g 2 , h 1 ∗ h 2 )
两个群的直积也是群