近世代数——群

群循环群群内所有的元素，都可以由特定元素（生成元）通过幂运算得到定理循环群的子群也是循环群循环群的阶与生成元的阶相同同阶的循环群同构变换群由集合的一一变换运算构成的群的子群凯莱定理任何一个群都和一个变换群同构置换群一个有限集合的若干个置换作为一个群叫做一个置换群n 次对称群包含 n 个元的集合的全体置换做成的群叫做 n 次对称群使用 Sn表示，阶为 n!描述行列式形式r-轮换形式置换群的计算性质每一个有限群都和一个置换群同构每一个 n 个元素的置换 π 都可以写成若干个不相交轮换的乘积Sn中的一个 r 轮换的阶为 r陪集对于群 G 和其一个子群 H，规定一个关系 R: aRb（当且仅当 ab-1=H）R 是一个等价关系是，可以获得 G 的分类，叫做陪集左右陪集左陪集 aH （代表在左边）右陪集 Ha （代表在右边）性质分类的代表也存在于对应的陪集中H 对应的分类是 H 本身群的每一个元素都必将属于（且只属于）一个陪集群 G 按照陪集分类后，不存在其他子群定理H 和其每一个陪集存在一一映射，且含有相同的元素个数左右存在一一映射关系，且左右陪集个数相等拉格朗日定理子群的阶都是有限母群阶的因子，设 H 是有限群 G 的一个子群，那么 H 的阶 n 和它在 G 里的指数 j 都能整除 G 的阶 N，并且 N=nj正规子群一个群 G 的子群 N 叫做一个正规子群，假如对于 G 的每一个元 a 来说，都有 Na=aN，记作 N⊲G。一个正规子群 N 的一个左（右）陪集叫做 N 的一个陪集不变子群N 刚好包含群 G 的所有具有以下性质的元 n，∀a∈G,na=an。那么 N 是 G 的一个不变子群一个群 G 和 e 总是不变子群充要条件∀a∈G,ana−1= N∀a∈G,∀n∈N⇒ana−1∈N∀a∈G,∀n∈N⇒a−1na∈N商群一个群 G 的一个正规子群 N 的陪集所构成的群叫做一个商群，使用符号 G/N 表示G/N 的阶等于 G 的阶除以 N 的阶原始定义半群代数系统二元运算运算封闭满足结合律含有幺元（单位元）单位元是唯一的加法单位元: 0乘法单位元: 1每个元素都有逆元逆元是唯一的等价定义aa-1=e(∀a∃a-1)对于右单位元，所有元素均左可逆对于右单位元，所有元素均右可逆任意的 G 中元素 a、b，方程 ax=b, ya=bax=b,ya=b 有解交换群（阿贝尔群）满足交换律的群阶群元素的阶元素自运算得到单位元的最小运算次数群的阶群元素个数子群满足群运算的子集对应的群等价定义任意两个元素运算后属于子群，且逆也在子群中 ab,a-1∈H元素和另一个元素的逆属于子群 ab-1∈ H性质传递性子群的子群也是子群遗传性单位元和逆元对应存在群同态基本定理假定 G1 和 G2 是两个群，并且 G1 与 G2 满同态，那么这个同态映射 f 的核 N 是 G 的一个正规子群，并且 G/N≅G，即 G/Kerf≅Imf

半群和含幺半群

定义 设 SS 是一个非空集合，若 SS 上存在一个二元运算 ∘\circ，满足结合律，即对任意 a,b,c∈Sa,b,c \in S 有 a∘(b∘c)=(a∘b)∘ca \circ(b \circ c) = (a \circ b) \circ c（结合律），则称代数系统 (S,∘)(S,\circ) 为半群。

半群要求:

  • 是一个代数系统
  • 满足结合律

对于半群，其存在幂运算 an=a∘a∘⋯∘a⏞n个a^n = \overbrace{a \circ a \circ \dots \circ a}^{n\text{个}}
易证：aman=am+n,(am)n=amn,∀a∈M,m,n∈Na^ma^n=a^{m+n},(a^m)^n=a^{mn},\forall a \in M,m,n \in N
需要特别注意的是，这里的幂运算依赖于运算系统的运算，也即对于加法系统，幂运算实际上是乘法；对于乘法系统，才是通常意义的幂运算

定义 对于二元运算，如果满足下述条件，则称 (M,∘)(M,\circ) 为含幺半群，ee 为单位元（幺元）

  • ∀a,b,c∈M\forall a,b,c \in M，有 a∘(b∘c)=(a∘b)∘ca \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c
  • ∃e∈M\exists e \in M，使 ∀a∈M,e∘a=a∘e=a\forall a \in M, e \circ a = a \circ e = a

定义: 含幺半群中单位元是唯一的

证明

设 e1,e2e_1,e_2 均为单位元，只需证 e1=e2e_1=e_2
有 e1=e1∘e2=e2e_1=e_1 \circ e_2=e_2，故得证

定义 如果半群 (S,∘)(S,\circ) 中的二元运算 ∘\circ 是可交换的（∀a,b∈S,a∘b=b∘a\forall a,b \in S, a \circ b=b \circ a），则称 (S,∘)(S,\circ) 是可换半群

定义 元素 aa 满足 a2=aa^2=a，则称 aa 为幂等元

定义 如果含幺半群 (M,∘)(M,\circ) 满足 m∈Mm \in M，使得 M={mn∣n为非负整数}M=\{m^n | n \text{为非负整数}\}，则 MM 为循环含幺半群，mm 为循环含幺半群的生成元

定义 设 (S,∘)(S,\circ) 和 (T,∗)(T,*) 是两个半群，映射 f:S→Tf: S \rightarrow T 称为 SS 到 TT 的半群同态映射。若 a,b∈Sa,b \in S，有 f(a∘b)=f(a)∗f(b)f(a \circ b)=f(a) * f(b)

  • 如果 ff 为满射，则称 ff 是 S→TS \rightarrow T 的满同态；
  • 如果 ff 为单射，则称 ff 是 S→TS \rightarrow T 的单一同态；
  • 如果 ff 为双射，则称 ff 是 S→TS \rightarrow T 的同构映射（简称同构），记作 S≅TS \cong T；
    如果代数系统 (S,∘)(S,\circ)，(T,∗)(T,*) 且映射 f:S→Tf: S \rightarrow T 称 SS 到 TT 的满同态
  • 若 (S,∘)(S,\circ) 是半群，则 (T,∗)(T,*) 也是半群
  • 若 (S,∘)(S,\circ) 是含幺半群，则 (T,∗)(T,*) 也是含幺半群，且单位元对应单位元

群

定义 一个含幺半群 (G,∘)(G,\circ)，如果 GG 的每一元均有逆元，即群是一个具有二元运算的集合，且满足下面三个条件：

  • 结合律：∀a,b,c∈G,a∘(b∘c)=(a∘b)∘c\forall a,b,c \in G, a \circ (b \circ c) = (a \circ b) \circ c
  • 单位元：∀a∈G,∃e,e∘a=a∘e=a\forall a \in G, \exists e, e \circ a = a \circ e = a
  • 逆元: ∀a∈G,∃a−1∈G,a∘a−1=a−1∘a=e\forall a \in G, \exists a^{-1} \in G, a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e

要证明是一个群，需要分别证明以下 5 点：

  • 运算为二元运算
  • 运算封闭
  • 满足结合律
  • 存在单位元
  • 每个元素都有逆元

定义 满足交换律的群，也称阿贝尔群

定理 群 (G,∘)(G,\circ) 中元素 aa 的逆元是唯一的

证明

设 a1,a2a_1, a_2 均为 aa 的逆元，只需证 a1=a2a_1 = a_2。

a1∘a=a∘a1=ea_1 \circ a = a \circ a_1 = e
a2∘a=a∘a2=ea_2 \circ a = a \circ a_2 = e

a1=a1∘e=a1∘(a∘a2)=(a1∘a)∘a2=e∘a2=a2a_1 = a_1 \circ e = a_1 \circ (a \circ a_2) = (a_1 \circ a) \circ a_2 = e \circ a_2 = a_2

群的等价定义

对于半群 GG，下述内容等价

  • GG 是群
  • GG 有左单位元 ll，而且 ∀a∈G\forall a \in G 关于这个左单位元 ll 都是左可逆（∀a∈G,∃b∈G,ba=l\forall a \in G, \exists b \in G, ba=l）
  • GG 有右单位元 rr，而且 ∀a∈G\forall a \in G 关于这个右单位元 rr 都是右可逆（∀a∈G,∃b∈G,ab=r\forall a \in G, \exists b \in G, ab=r）
  • ∀a,b∈G\forall a,b \in G， 方程 ax=b,ya=bax=b, ya=b 有解

定义 对于群 (G,∘)(G, \circ) 中的一个元素 aa，满足 an=ea^n = e 的最小正整数 nn 称为元素 aa 的阶。记作 o(a)=no(a)=n 或 ∣a∣=n|a|=n；若不存在这样的 nn，则元素 aa 是无限阶，记作 o(a)=∞o(a)=\infty 或 ∣a∣=∞|a|=\infty

定理 群元素 aa 与其逆元素 a−1a^{-1} 有相同的阶

定义 群 (G,∘)(G,\circ)中元素的个数称为群 GG 的阶；当群元素有限时，称为有限群；当群元素无限时，称为无限群

定理 设 GG 为一个有限半群，若 GG 的运算适合左、右消去律，则 GG 为群

子群

定义 设 HH 是群 GG 的一个非空子集，若 HH 对 GG 的乘法构成群，则称 HH 为 GG 的子群，称为 H≤GH \le G

任意群 GG，都有两个子群：{e}\{e\} 和 GG，这两个群称为群 GG 的平凡子群。
若 H≤GH \le G，且 H≠GH \ne G，则称 HH 是 GG 的一个真子群，记为 H<GH \lt G

性质

  • 传递性：H≤K,K≤G⇒H≤GH \le K, K \le G \Rightarrow H \le G
  • 遗传性：H≤K,∀a∈H,eH=eG,aH−1=aG−1H \le K, \forall a \in H, e_H=e_G, a^{-1}_H = a^{-1}_G

子群等价定义
对于群 GG，∅≠H⊆∣G\empty \ne H \subseteq | G，下列定义等价

  • H≤GH \le G
  • ∀a,b∈H,ab∈H,a−1∈H\forall a,b \in H, ab \in H, a^{-1} \in H
  • ∀a,b∈H,ab−1∈H\forall a,b \in H, ab^{-1} \in H

群同态

定理 设 GG 为群，G‾\overline{G} 为一个带有乘法运算的非空集合，若存在 f:G→G‾f: G \rightarrow \overline{G} 为满同态映射，则 G‾\overline{G} 也是一个群

定理 假定 GG 和 G‾\overline{G} 是两个群，在 GG 到 G‾\overline{G} 的一个同态满射 ff 之下，GG 的单位元 ee 的像 f(e)f(e) 是 G‾\overline{G} 的单位元，GG 中元素 aa 的逆元 a−1a^{-1} 的像 f(a−1)f(a^{-1}) 是 G‾\overline{G} 中元素 f(a)f(a) 的逆元

定义 设 GG 和 G′G' 都是群，ff 是 GG 到 G′G' 的映射，若 ff 保持运算，即 ∀x,y∈G,f(xy)=f(x)f(y)\forall x,y \in G, f(xy)=f(x)f(y)，则称 ff 是 GG 到 G′G' 的同态

  • 若 ff 为单射，则称 ff 为单同态
  • 若 ff 为满射，则称 ff 为满同态，并称 GG 和 G′G' 同态，记作 G∽G′G \backsim G'
  • 若 ff 为双射，则称 ff 为同构，并称 GG 和 G′G' 同构，记作 G≅G′G \cong G'

循环群

定义 设 GG 是一个群，a∈Ga \in G。若 ∀b∈G\forall b \in G，均存在 n∈Zn \in \bm{Z}，使得 b=anb=a^n，则称 GG 是由 aa 生成的循环群，aa 叫做 GG 的一个生成元，记作 G=<a>G=<a>

定理 循环群 G=<a>G=<a> 的子群也是循环群

定理 设 gg 是群 (G,∘)(G, \circ) 中的任意元素，gg 的阶为 mm，则 G1={gr∣r∈Z}G_1 = \{g^r | r \in \bm{Z}\} 是 GG 的 mm 阶子群

  • 循环群的阶与生成元的阶相同：群 G=<a>G=<a>，∣G∣=o(a)|G|=o(a)
    • o(a)=mo(a)=m，则 ∣G∣=m,G={e=a0,a1,⋯ ,am−1}|G|=m, G=\{e=a^0,a^1,\cdots,a^{m-1}\}
    • o(a)=∞o(a)=\infty，则 ∣G∣=∞,G={⋯ ,a−2,a−1,a0,a1,a2⋯ }|G|=\infty, G=\{\cdots, a^{-2},a^{-1}, a^0, a^1, a^2 \cdots\}

定理 同阶的循环群同构

对于循环群的存在存在问题、数量问题、构造问题都以能解答，循环群已完全在我们掌握之中

变换群

定义

  • 变换: 设 MM 是一个非空集合，若 τ\tau 是 MM 到 MM 的运算 τ:M→M\tau: M \rightarrow M。则称 τ\tau 是 MM 的一个变换
  • 变换集合:
    • 由 MM 的全体变换做成的集合，记为 T(M)T(M) （∣T(M)∣=nn|T(M)| = n^n）
    • 由 MM 的全体一一变换做成的集合记为 S(M)S(M) （∣S(M)∣=n!|S(M)|=n!）
  • 变换乘法: τ1,τ2∈T(M)\tau_1,\tau_2 \in T(M)，规定 ∀a∈M\forall a \in M，有 τ1τ2(a)=τ1(τ2(a))\tau_1 \tau_2 (a)= \tau_1(\tau_2(a))，称 τ1τ2\tau_1\tau_2 为 τ1\tau_1 和 τ2\tau_2 的乘法
  • 恒等变换 ϵ\epsilon ∀τ∈T(M),ϵτ=τ\forall \tau \in T(M), \epsilon \tau = \tau

定义 集合 AA 的所有一一变换构成的集合 E(A)E(A)，关于变换的合成运算 ∘\circ 所构成的群 (E(A),∘)(E(A),\circ)，称为 AA 的一一变换群，(E(A),∘)(E(A),\circ) 的子群称为变换群

一个变换群的例子

对于 M={1,2}M=\{1,2\}，MM 的全部变换如下：

  • τ1:1→1,2→1\tau_1: 1 \rightarrow 1, 2 \rightarrow 1
  • τ2:1→2,2→2\tau_2: 1 \rightarrow 2, 2 \rightarrow 2
  • τ3:1→2,2→1\tau_3: 1 \rightarrow 2, 2 \rightarrow 1
  • ϵ:1→1,2→2\epsilon: \enspace 1 \rightarrow 1, 2 \rightarrow 2

其运算表如下:

τ1\bm{\tau_1} τ2\bm{\tau_2} τ3\bm{\tau_3} ϵ\bm{\epsilon}
τ1\bm{\tau_1} τ1\tau_1 τ2\tau_2 τ2\tau_2 τ1\tau_1
τ2\bm{\tau_2} τ1\tau_1 τ2\tau_2 τ1\tau_1 τ2\tau_2
τ3\bm{\tau_3} τ1\tau_1 τ2\tau_2 ϵ\epsilon τ3\tau_3
ϵ\bm{\epsilon} τ1\tau_1 τ2\tau_2 τ3\tau_3 ϵ\epsilon

定理 设 MM 为非空集合，S(M)S(M) 关于变换的乘法构成 MM 的一个变换群

凯莱定理(Cayley) 任何一个群都和一个变换群同构

变换群的凯莱定理说明，如果可以把所有变换群研究清楚，那么就相当于将所有群都研究清楚了。

证明

假定 GG 是一个群，GG 的元是 a,b,c,⋯a,b,c,\cdots

首先构造同构的变换群 G‾\overline{G}

在 GG 中任意取定一个元 gg，那么 τg:x→gx=gτ\tau_g:x \rightarrow gx= g^\tau 是集合 GG 的一个变换，因为给了 GG 的任意元 xx，则可以得到一个唯一的 G→GG \rightarrow G 的元 gτgg^{\tau_g}，这样由 GG 的每一个元 gg，可以得到一个 G→GG\rightarrow G 的一个变换 τg\tau_g。这样得来的 GG 的变换构成一个集合 G‾={τa,τb,τc,⋯ }\overline{G} = \{\tau_a,\tau_b,\tau_c,\cdots\}

∀g,h∈G\forall g,h \in G，有 (τg∘τh)(x)=τg(τh(x))=τg(hx)=g(hx)=(gh)x=τgh(x)(\tau_g \circ \tau_h)(x) = \tau_g(\tau_h(x))=\tau_g(hx)=g(hx)=(gh)x=\tau_{gh}(x)
也即，G‾\overline{G} 关于运算 τg∘τh=τgh\tau_g \circ \tau_h = \tau_{gh} 是封闭的

有 ϕ:x→τx\phi: x \rightarrow \tau_x 是 GG 到 G‾\overline{G} 的满射，由消去律 ∀g∈G.x≠y⇒gx≠gy\forall g \in G. x \ne y \Rightarrow gx \ne gy 可知
若 x≠yx \ne y，那么 τx≠τy\tau_x \ne \tau_y
也即 ϕ:x→τx\phi: x \rightarrow \tau_x 是 GG 到 G‾\overline{G} 的单射
所以 ϕ\phi 是 GG 到 G‾\overline{G} 的一一映射

又有 ϕ(xy)=τxy=τx∘τy=ϕ(x)∘ϕ(y)\phi(xy) = \tau_{xy} = \tau_x \circ \tau_y = \phi(x) \circ \phi(y)

所以 ϕ\phi 是 GG 到 G‾\overline{G} 的同构映射，所以 G‾\overline{G} 是一个群，GG 的单位元 ee 的象 τe:x→ex=x\tau_e: x \rightarrow ex = x 是 GG 的恒等变换 ϵ\epsilon

综上所述，G‾\overline{G} 是 GG 的一个变换群，这样 GG 和 G→GG \rightarrow G 的一个变换群 G‾\overline{G} 同构

置换群

定义 一个有限集合的一个一一变换叫做一个置换。一个有限集合的若干个置换作为一个群叫做一个置换群

定义 一个包含 nn 个元的集合的全体置换做成的群叫做 nn 次对称群，使用 SnS_n 表示，nn 次对称群 SnS_n 的阶是 n!n!

对于置换 π:i→ki,i=1,2,3,⋯\bm{\pi}: i \rightarrow k_i,i=1,2,3,\cdots，可以将其置换描述为下述形式：
(12⋯nk1k2⋯kn)\begin{pmatrix} 1 & 2 & \cdots & n \\ k_1 & k_2 & \cdots & k_n \end{pmatrix}这里第一行的次序没有特别要求，只需要保证上下两行关系对应即可。但通常默认第一行按照顺序写

对于多个置换关系的合成，可以如下计算：
(123132)(123213)=(123312)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}

置换的计算方法

这里的计算不是简单的如下置换（该结果为 (123231)\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 3 & 1 \end{pmatrix}，显然与上述结果不同）

%3 cluster_a cluster_b cluster_c a1 1 b1 1 a1->b1 a2 2 b3 3 a2->b3 a3 3 b2 2 a3->b2 c2 2 b1->c2 c1 1 b2->c1 c3 3 b3->c3

错误的置换思路

对于 (123132)\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\1 & 3 & 2\end{pmatrix}，如果有有序集合 {a,b,c}\{a,b,c\}，其置换后的结果应该为 {a,c,b}\{a,c,b\}
而对该集合继续进行 (123213)\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\2 & 1 & 3 \end{pmatrix} 置换，可以得到 {c,a,b}\{c,a,b\}

将 {c,a,b}\{c,a,b\} 与原本的 {a,b,c}\{a,b,c\} 对比，可以得到置换为 (123312)\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\3 & 1 & 2 \end{pmatrix}，也即正确的结果

置换合成的正确计算思路应该如下：

  1. 只看第二行内容 {1,3,2}\{1,3,2\} 和 {2,1,3}\{2,1,3\}
  2. 合成后的结果为 {1,3,2}\{1,3,2\} 的第 22 个元素，第 11 个元素，第 33 个元素的顺序列表，也即 {3,1,2}\{3,1,2\}
  3. 将结果还原成置换矩阵 (123312)\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}

如果对上述过程进行简化，可以发现其就是从右往左计算“错误思路”。如下图，从右往左即可得到正确结果1→3,2→1,3→21 \rightarrow 3,2 \rightarrow 1,3 \rightarrow 2，即 (123312)\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}

%3 cluster_a cluster_b cluster_c a1 1 a2 2 a3 3 b1 1 b1->a1 b2 2 b2->a3 b3 3 b3->a2 c1 1 c1->b2 c2 2 c2->b1 c3 3 c3->b3

置换的另一种表示

如果置换 π\bm{\pi} 是一个长度为 rr 的轮换（rr 循环置换）(i1,i2,⋯ ,ir)(i_1,i_2,\cdots,i_r)，则其有置换关系 ij→ij+1i_j \rightarrow i_{j+1}

(1234523145)=(123)=(231)=(312)\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&1&4&5\end{pmatrix}=(123)=(231)=(312)
(1234523451)=(12345)=(23451)=⋯=(51234)\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\2&3&4&5&1\end{pmatrix}=(12345)=(23451)=\cdots=(51234)
(1234512345)=(1)=(2)=(3)=(4)=(5)\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&2&3&4&5\end{pmatrix}=(1)=(2)=(3)=(4)=(5)

定理 SnS_n 中的一个 rr 轮换的阶为 rr
定理 每一个 nn 个元素的置换 π\bm{\pi} 都可以写成若干个不相交轮换的乘积
定理 每一个有限群都和一个置换群同构

正规子群

陪集

群的积
设 GG 为群，A,BA,B 是群 GG 的两个非空子集，AB={ab∣a∈A,b∈B}AB=\{ab|a \in A,b \in B\}。
若 B={g}B=\{g\}，则：
  • Ag=AB={ag∣a∈A}Ag=AB=\{ag|a\in A\}
  • gA=BA={ga∣a∈A}gA=BA=\{ga|a \in A\}

定义 对于群 GG 和其一个子群 HH，规定一个关系 R:aRbR: aRb（当且仅当 ab−1=Hab^{-1}=H）
RR 是一个等价关系：

  • aa−1=e∈Haa^{-1}=e \in H
  • ab−1∈H⇒(ab−1)−1=ba−1ab^{-1} \in H \Rightarrow (ab^{-1})^{-1}=ba^{-1}
  • ab−1∈H,bc−1∈H⇒(ab−1)(bc−1)=ac−1∈Hab^{-1} \in H,bc^{-1} \in H \Rightarrow (ab^{-1})(bc^{-1})=ac^{-1} \in H
    故 aRb,bRc⇒aRcaRb,bRc \Rightarrow aRc
    使用该等价关系可以获得一个 GG 的分类，这种类就是陪集

对于一个群 GG 的子群 HH，可以根据等价关系 ab−1∈Hab^{-1}\in H，来将整个群分为多个等价类。
称 HaHa 为 GG 关于 HH 的一个右陪集（代表写在右边）
同理，也有 aHaH 为 GG 关于 HH 的一个左陪集（代表写在左边）

整数加群的例子

对于整数加群 (z,+)(z,+)，模 44 剩余类：[0],[1],[2],[3][0],[1],[2],[3]，构成 (z,+)(z,+) 的一个分类 Z4={[0],[1],[2],[3]}\bm{Z}_4=\{[0],[1],[2],[3]\}。
其中：

  • 只有 [0][0] 一个子集（别的运算不封闭且没有单位元）
  • 每一个类刚好是这个子群“乘”上这个类的一个元素：[i]=i+[0][i]=i+[0]
三次对称群的例子

三次对称群 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S_3=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\}
其有交错群子群 A3={(1),(123),(132)}A_3=\{(1),(123),(132)\}

  • A3(1)=A3=A3(123)=A3(132)A_3(1)=A_3=A_3(123)=A_3(132)
  • A3(12)={(12),(13),(23)}=A3(13)=A3(23)A_3(12)=\{(12),(13),(23)\}=A_3(13)=A_3(23)

也即 S3S_3 的全部 66 个元素已经被 A3A_3 分为两个等价类 S3=A3(1)⋃A3(12)S_3=A_3(1)\bigcup A_3(12)

对一个群进行分类的题目，可以先选取一个子群，使用所有的元素“乘”这个子群，可以发现有些结果是相同的，可以从不同的结果中分别选取一个代表作为陪集的代表。

性质 （以左陪集为例）

  • a∈aHa \in aH（分类的代表在该分类中）
  • a∈H⇔aH=Ha \in H \Leftrightarrow aH=H（子集 HH 的分类对应的陪集是 HH 本身）
  • b∈aH⇔aH=bH⇔a−1b∈Hb\in aH \Leftrightarrow aH=bH \Leftrightarrow a^{-1}b \in H（对于右陪集为 ba−1∈Hba^{-1} \in H）
  • aH⋂bH≠∅⇒aH=bHaH \bigcap bH \ne \empty \Rightarrow aH=bH
  • 群 GG 的每个元素属于且只属于一个左陪集
  • 群 GG 按照子群 HH 的陪集分类后，再无其他子群

定理 陪集之间的关系：一个子群 HH 和 HH 的每一个右陪集 HaHa 之间都存在一个一一映射。群 GG 的任意两个陪集含有相同个数的元素

证明

设 ϕ:h→ha\phi: h \rightarrow ha

  • HH 的每一个元 hh 有一个唯一的像 haha
  • HaHa 的每一个元 haha 是 HH 中元素 hh 的像
  • 假设 h1a=h2ah_1a=h_2a，那么 h1=h2h_1=h_2

定理 左右陪集的关系：群 GG 的子群 HH 左右陪集构成的集合，存在一一映射关系。HH 在 GG 中左陪集的个数与右陪集的个数相同

证明

设左陪集所构成的集合为 SlS_l，右陪集构成的集合为 SrS_r
构造一个映射 ϕ:Ha→a−1H\phi: Ha \rightarrow a^{-1}H

有:

  • Ha=Hb⇒右陪集性质ab−1∈H⇒逆也在子群中(ab−1)−1∈H⇒ba−1∈H⇒左陪集性质a−1H=b−1HHa=Hb \overset{\text{右陪集性质}}{\Rightarrow} ab^{-1} \in H \overset{\text{逆也在子群中}}{\Rightarrow} (ab^{-1})^{-1} \in H \Rightarrow ba^{-1} \in H \overset{\text{左陪集性质}}{\Rightarrow} a^{-1}H=b^{-1}H
  • SlS_l 的任意元是 SrS_r 的元 Ha−1Ha^{-1} 的像，故 ϕ\phi 是一个满射
  • Ha≠Hb⇒ab−1∉H⇒(ab−1)−1=ba−1∉H⇒a−1H≠b−1HHa \ne Hb \Rightarrow ab^{-1} \notin H \Rightarrow (ab^{-1})^{-1}=ba^{-1} \notin H \Rightarrow a^{-1}H \ne b^{-1}H

也即，ϕ\phi 是一个一一映射，即左右陪集个数相同

拉格朗日定理

拉格朗日定理
子群的阶都是有限母群阶的因子
设 HH 是有限群 GG 的一个子群，那么 HH 的阶 nn 和它在 GG 里的指数 jj 都能整除 GG 的阶 NN，并且 N=njN=nj

推论一: #H∣#G\#H|\#G，子群元素个数是群元素个数的因数

推论二: 群元素 aa 的阶是群 GG 的阶的因数

证明

aa 生成一个阶是 nn 的子群，有 nn 整除 GG 的阶

推论三: 每个阶为素数 pp 的群 GG 都是循环群

证明

群 GG 的每个元素 aa 的阶为 11 或素数 pp。一阶元是单位元，其他元素的阶位素数 pp
∣G∣=p>1|G|=p>1，故至少有一个元素的阶为 pp。由该元素生成的群为循环群，即 GG 为循环群

三次对称群 S3S_3 的所有子群

子群的阶是 #S3=6\#S_3=6 的因子，即 1,2,3,61,2,3,6

S3S_3 的 11 阶子群: {(1)}\{(1)\}
S3S_3 的 22 阶子群: 必是循环群，{(1),(12)},{(1),(13)},{(1),(23)}\{(1),(12)\},\{(1),(13)\},\{(1),(23)\}
S3S_3 的 33 阶子群: 必是循环群，{(1)}\{(1)\}
S3S_3 的 66 阶子群: S3S_3

正规子群

定义 一个群 GG 的子群 NN 叫做一个正规子群，假如对于 GG 的每一个元 aa 来说，都有 Na=aNNa=aN，记作：N⊲GN \lhd G。一个正规子群 NN 的一个左（右）陪集叫做 NN 的一个陪集

例：一个群 GG 和 ee 总是不变子群

证明

对于任意 GG 的元 aa 来说 Ga=aG=GGa=aG=G，ea=ae=aea=ae=a

例：NN 刚好包含群 GG 的所有具有以下性质的元 nn，∀a∈G,na=an\forall a \in G,na=an。那么 NN 是 GG 的一个不变子群

证明

因为 e∈Ne \in N，所以 NN 非空。
n1a=an1,n2a=an2⇒n1n2a=an1n2n_1a = an_1, n_2a=an_2 \Rightarrow n_1n_2a = an_1n_2
na=an⇒n−1a=n−1ann−1=n−1nan−1=an−1na=an \Rightarrow n^{-1}a=n^{-1}ann^{-1}=n^{-1}nan^{-1}=an^{-1}
故 n1,n2∈N,n−1∈Nn_1,n_2 \in N,n^{-1} \in N，即 NN 是一个子群
GG 的每一个元 aa 可以同 NN 的每一个元 nn 交换，有 Na=aNNa=aN，即 NN

定理 一个群 GG 的一个子群 NN 是一个正规子群的充分必要条件是（任选其一）

  • ∀a∈G,ana−1=N\forall a \in G, ana^{-1} = N
  • ∀a∈G,∀n∈N⇒ana−1∈N\forall a \in G, \forall n \in N \Rightarrow ana^{-1} \in N
  • ∀a∈G,∀n∈N⇒a−1na∈N\forall a \in G, \forall n \in N \Rightarrow a^{-1}na \in N

定理 设 (G1,∘)(G_1,\circ) 与 (G2,∘)(G_2,\circ) 是群 (G,∘)(G,\circ) 的正规子群，则 (G1G2,∘)(G_1G_2,\circ) 是群 (G,∘)(G,\circ) 的正规子群

商群

定理 一个正规子群的陪集对于 (xN)(yN)=(xy)N(xN)(yN)=(xy)N 的乘法来说构成一个群

定义 一个群 GG 的一个正规子群 NN 的陪集所构成的群叫做一个商群，使用符号 G/NG/N 表示

G的阶N的阶=G/N的阶\frac{G\text{的阶}}{N\text{的阶}}=G/N\text{的阶}

定理 设 HH 是群 (G,∘)(G, \circ) 的子群，HH 在 GG 中的指数为 22，即 #(G:H)=2\#(G:H)=2，则 HH 是 GG 的正规子群，且 GG 关于 HH 的所有陪集构成的商群 G/H=Hg∣g∈GG/H={Hg|g \in G} 是二阶循环群

定义 如果一个群 GG，除了 {e}\{e\} 和 GG 之外，没有其他正规子群，则称 GG 为单群

群同态基本定理

  • ker⁡f={g∈G∣f(g)=eH}\ker f=\{g \in G|f(g)=e_H\} 是 GG 的正规子群
  • ℑf\Im f 是 HH 的正规子群，且商群 G/Kerf≅ImfG/Ker f \cong Im f

定理 一个群 GG 与他的每一个商群 G/NG/N 同态

定义 设 ϕ\phi 是一个群 GG 到另一个群 G‾\overline{G} 的一个同态满射，G‾\overline{G} 的单位元 e‾\overline{e} 在 ϕ\phi 之下的所有逆像所做成的 GG 的子集叫做同态满射 ϕ\phi 的核，记作 ker⁡ϕ:={a∣a∈G,ϕ(a)=e‾}\ker\phi: = \{a|a \in G, \phi(a)=\overline{e}\}

定理 设 ff 是 G→HG \rightarrow H 的群同态映射，则：ff 是单一同态当且仅当 ker⁡(f)={eG}\ker(f)=\{e_G\}

群同态基本定理 假定 GG 和 G‾\overline{G} 是两个群，并且 GG 与 G‾\overline{G} 满同态，那么这个同态映射 ff 的核 NN 是 GG 的一个正规子群，并且 G/N≅G‾G/N \cong \overline{G}，即 G/ker⁡f≅ImfG/\ker f \cong \text{Im}f

定义 假定 ϕ\phi 是集合 AA 到集合 A‾\overline{A} 的一个满射，则

  • S‾\overline{S} 是 AA 的一个子集 SS 在 ϕ\phi 之下的像，假如 S‾\overline{S} 刚好包含所有 SS 的元素在 ϕ\phi 之下的像。即 S‾=ϕ(S)={ϕ(x)∣x∈S}\overline{S} = \phi(S) = \{\phi(x) | x \in S\}
  • SS 是 A‾\overline{A} 的一个子集 S‾\overline{S} 在 ϕ\phi 之下的拟像，假如 SS 刚好包含所有 S‾\overline{S} 的元素在 ϕ\phi 之下的逆像。即 S=ϕ−1(S‾)={x∣x∈A,ϕ(x)∈S‾}S = \phi^{-1}(\overline{S}) = \{x | x \in A, \phi(x)\in\overline{S}\}

定理 假定 GG 和 G‾\overline{G} 是两个群，并且 GG 与 G‾\overline{G} 同态，那么这个同态满射下：

  • GG 的一个子群 HH 的像 H‾\overline{H} 是 G‾\overline{G} 的一个子群
  • GG 的一个正规子群 NN 的像 N‾\overline{N} 是 G‾\overline{G} 的一个正规子群
  • G‾\overline{G} 的一个子群 H‾\overline{H} 的逆像 HH 是 GG 的一个子群
  • G‾\overline{G} 的一个正规子群 N‾\overline{N} 的逆像 NN 是 GG 的一个正规子群

定理 设 N,H,GN,H,G 均为群，N⊲G,H⊲GN \lhd G, H \lhd G，并且 N⊆HN \subseteq H，则有 G/H≅G/NH/NG/H \cong \frac{G/N}{H/N}

定理 若 G=<a>G=<a> 是一个循环群，则：

  • o(a)=∞⇒G≅(Z,+)o(a) = \infty \Rightarrow G \cong (\bm{Z},+)
  • o(a)=m⇒G≅(Zm,+)o(a) = m \Rightarrow G \cong (\bm{Z}_m,+)

群的构造

两个群 (G,∘)(G,\circ) 与 (H,∗)(H,*) 的直积 (G×H,⋅)(G \times H, \cdot)，可以通过如下形式的运算来定义: (g1,h1)⋅(g2,h2)=(g1⋅g2,h1∗h2)(g_1,h_1) \cdot (g_2,h_2) = (g_1 \cdot g_2, h_1 * h_2)
两个群的直积也是群