近视代数——环

环有单位元环乘法拥有单位元的环交换环乘法满足交换律的环平凡环只有一个元素的环无零因子环没有左零因子（自然也没有右零因子）的环无零因子环 等价于 左消去律存在 等价于 右消去律存在整环无零因子非平凡交换环等价定义拥有左（右）消去律除环拥有乘法单位元，至少有一个不为零的元素且都有逆元的环非平凡有单位元且非零元有逆元的环性质除环没有零因子除环除去零之外的元素构成一个群域交换除环性质域是一个整环域没有零因子有限整环 等价于 域定理一个至少含有两个元素的无零因子的有限环是除环有限整环是除环有限整环是域子环环的子集仍然构成一个环充要条件：a-b ∈ S, ab ∈ S子除环除环的子集仍然是一个环充要条件S 包含一个非零元a,b ∈ S ⇔ a-b ∈ Sa,b ∈ S, b ≠ 0, ab-1∈ S性质R 是交换环，S 是交换环S 是交换环，R 未必是交换环R 无零因子，S 无零因子S 无零因子，R 未必无零因子R 有单位元，S 未必有单位元S 有单位元，R 未必有单位元理想子环强闭合子环强闭合：a∈I,r∈R⇒ra,ar∈I单环只有零理想和单环的环除环和域都是单环主理想对于交换环 R 元素 a，集合 I={ar+na|r∈R,n∈Z} 是 R 的理想，称为元素 a 生成的主理想，记为 (a)定理对于域 F，0≠a∈F，F=(a)={ar|r∈F}素理想若 ∀a,b∈R，当 ab∈I，可推出 a∈I 或 b∈I极大理性环 R 的一个不等于 R 的理想 I (I ≠ R)，当除去 R 和 I 外没有其他包含 I 的理想时称为 R 的极大理想定理R 是有单位元的交换环，I 是 R 的理想，I 是 R 的极大理想 ⇔ R/I 是域整数环中，素数 p 生成的主理想 (p) 可得到 Z/(p) 是域设 R 是有单位元的交换环，I 是 R 的极大理想，则 I 是 R 的素理想商环若 I 是环 R 的理想，则 (R/I,+,⋅) 构成环，称为 R 关于 I 的上商环，记为 R/I={I+r∣r∈R}若 R 是交换环，I 是 R 的素理想，则 R/I 是整环运算(I+r1)+(I+r2)=I+(r1+r2)(I+r1)·(I+r2)=I+(r1·r2)含有两个运算加法运算满足群乘法运算满足半群性质加法存在单位元加法存在逆元加法存在消去律加法存在结合律乘法存在单位元乘法存在零元分配律存在环的同态R 零元的像是 S 的零元R 的元 a 负元的像是 a 的像的负元如果 R 是交换环，那么 S 也是交换环如果 R 有单位元 1，那么 S 也有单位元（且是 1 的像）R 是交换环，S 是交换环S 是交换环，R 未必是交换环R 无零因子，S 未必无零因子S 无零因子，R 未必无零因子R 有单位元 1，S 有单位元 f(1)S 有单位元，R 未必有单位元环的构造矩阵环设 R 是具有单位元的交换环，环 (M(n×n;R),+,⋅) 称为 R 上的 n 阶矩阵环多项式环设 R 是具有单位元的交换环，则 (R[x], +, ·) 构成单位元的交换环。称为 R 上的多项式环R[x] = {a0+ a1x + ... + anxn| a0, ... , an∈ R, n ∈ N}，定理若 R 是具有单位元的整环，R[x] 也是序列环设 R 是据有单位元的交换环，则 RN关于加法和卷积构成有单位元的交换环 (RN,+,*)，称为 R 上的序列环RN= {<a0,a1,...>|a0,a1,...∈ R,n ∈ N}分式域设 R 是整环，则可以构造一个域 F， 使得 R 同构于 F 的一个子环 R'环同态基本定理设 f 是 R→S 的环同态映射，则 R/Kerf≅Imf设 f 是 R→S 的满同态，则 R/Kerf≅S环 R 到 R‘ 的同态满射下R 的一个子环 S 的像 S' 是 R' 的一个子环R 的一个理想 I 的像 I' 是 R' 的一个理想R' 的一个子环 S' 的逆像 S 是 R 的一个子环R' 的一个理想 I' 的逆像 I 是 R 的一个理想

环

定义 有两个二元运算（分明称为加法、乘法）的代数系统 (R,+,⋅)(R,+,\cdot)，称为一个环
环 RR 对加法运算构成交换群，对乘法运算构成半群：

  • 加法结合律：∀a,b,c∈R,(a+b)+c=a+(b+c)\forall a,b,c \in R,(a+b)+c=a+(b+c)
  • 加法交换律：∀a,b∈R,a+b=b+a\forall a,b \in R,a+b=b+a
  • 加法零元（单位元）：∀a∈R,a+0=a\forall a \in R, a+0=a
  • 加法负元（逆元）：∀a∈R,∃−a,a+(−a)=0\forall a \in R, \exists -a, a + (-a) = 0
  • 乘法结合律：∀a,b,c∈R,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\forall a,b,c \in R,(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
  • 乘法分配律：∀a,b,c∈R,a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c\forall a,b,c \in R,a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c

定义

  • 具有单位元的环 乘法运算 ⋅\cdot 拥有单位元的环
  • 交换群 乘法运算 ⋅\cdot 满足交换律的环

性质

  • 加法单位元： x+a=a→x=0x+a=a \rightarrow x=0
  • a+x=0→x=−aa+x=0 \rightarrow x=-a
  • a+b=a+c→b=ca+b=a+c \rightarrow b=c
  • n⋅(a+b)=na+nbn\cdot(a+b) = na+nb
  • (m+n)a=ma+na(m+n)a=ma+na
  • (m⋅n)=m(na)(m\cdot n)=m(na)
  • −(a+b)=−a−b-(a+b) = -a-b
  • −(a−b)=−a+b-(a-b)=-a+b

定理

  • a⋅0=0⋅a=0a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0<