近视代数——环

环有单位元环乘法拥有单位元的环交换环乘法满足交换律的环平凡环只有一个元素的环无零因子环没有左零因子（自然也没有右零因子）的环无零因子环 等价于 左消去律存在 等价于 右消去律存在整环无零因子非平凡交换环等价定义拥有左（右）消去律除环拥有乘法单位元，至少有一个不为零的元素且都有逆元的环非平凡有单位元且非零元有逆元的环性质除环没有零因子除环除去零之外的元素构成一个群域交换除环性质域是一个整环域没有零因子有限整环 等价于 域定理一个至少含有两个元素的无零因子的有限环是除环有限整环是除环有限整环是域子环环的子集仍然构成一个环充要条件：a-b ∈ S, ab ∈ S子除环除环的子集仍然是一个环充要条件S 包含一个非零元a,b ∈ S ⇔ a-b ∈ Sa,b ∈ S, b ≠ 0, ab-1∈ S性质R 是交换环，S 是交换环S 是交换环，R 未必是交换环R 无零因子，S 无零因子S 无零因子，R 未必无零因子R 有单位元，S 未必有单位元S 有单位元，R 未必有单位元理想子环强闭合子环强闭合：a∈I,r∈R⇒ra,ar∈I单环只有零理想和单环的环除环和域都是单环主理想对于交换环 R 元素 a，集合 I={ar+na|r∈R,n∈Z} 是 R 的理想，称为元素 a 生成的主理想，记为 (a)定理对于域 F，0≠a∈F，F=(a)={ar|r∈F}素理想若 ∀a,b∈R，当 ab∈I，可推出 a∈I 或 b∈I极大理性环 R 的一个不等于 R 的理想 I (I ≠ R)，当除去 R 和 I 外没有其他包含 I 的理想时称为 R 的极大理想定理R 是有单位元的交换环，I 是 R 的理想，I 是 R 的极大理想 ⇔ R/I 是域整数环中，素数 p 生成的主理想 (p) 可得到 Z/(p) 是域设 R 是有单位元的交换环，I 是 R 的极大理想，则 I 是 R 的素理想商环若 I 是环 R 的理想，则 (R/I,+,⋅) 构成环，称为 R 关于 I 的上商环，记为 R/I={I+r∣r∈R}若 R 是交换环，I 是 R 的素理想，则 R/I 是整环运算(I+r1)+(I+r2)=I+(r1+r2)(I+r1)·(I+r2)=I+(r1·r2)含有两个运算加法运算满足群乘法运算满足半群性质加法存在单位元加法存在逆元加法存在消去律加法存在结合律乘法存在单位元乘法存在零元分配律存在环的同态R 零元的像是 S 的零元R 的元 a 负元的像是 a 的像的负元如果 R 是交换环，那么 S 也是交换环如果 R 有单位元 1，那么 S 也有单位元（且是 1 的像）R 是交换环，S 是交换环S 是交换环，R 未必是交换环R 无零因子，S 未必无零因子S 无零因子，R 未必无零因子R 有单位元 1，S 有单位元 f(1)S 有单位元，R 未必有单位元环的构造矩阵环设 R 是具有单位元的交换环，环 (M(n×n;R),+,⋅) 称为 R 上的 n 阶矩阵环多项式环设 R 是具有单位元的交换环，则 (R[x], +, ·) 构成单位元的交换环。称为 R 上的多项式环R[x] = {a0+ a1x + ... + anxn| a0, ... , an∈ R, n ∈ N}，定理若 R 是具有单位元的整环，R[x] 也是序列环设 R 是据有单位元的交换环，则 RN关于加法和卷积构成有单位元的交换环 (RN,+,*)，称为 R 上的序列环RN= {<a0,a1,...>|a0,a1,...∈ R,n ∈ N}分式域设 R 是整环，则可以构造一个域 F， 使得 R 同构于 F 的一个子环 R'环同态基本定理设 f 是 R→S 的环同态映射，则 R/Kerf≅Imf设 f 是 R→S 的满同态，则 R/Kerf≅S环 R 到 R‘ 的同态满射下R 的一个子环 S 的像 S' 是 R' 的一个子环R 的一个理想 I 的像 I' 是 R' 的一个理想R' 的一个子环 S' 的逆像 S 是 R 的一个子环R' 的一个理想 I' 的逆像 I 是 R 的一个理想

环

定义 有两个二元运算（分明称为加法、乘法）的代数系统 (R,+,⋅)(R,+,\cdot)，称为一个环
环 RR 对加法运算构成交换群，对乘法运算构成半群：

  • 加法结合律：∀a,b,c∈R,(a+b)+c=a+(b+c)\forall a,b,c \in R,(a+b)+c=a+(b+c)
  • 加法交换律：∀a,b∈R,a+b=b+a\forall a,b \in R,a+b=b+a
  • 加法零元（单位元）：∀a∈R,a+0=a\forall a \in R, a+0=a
  • 加法负元（逆元）：∀a∈R,∃−a,a+(−a)=0\forall a \in R, \exists -a, a + (-a) = 0
  • 乘法结合律：∀a,b,c∈R,(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\forall a,b,c \in R,(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)
  • 乘法分配律：∀a,b,c∈R,a⋅(b+c)=a⋅b+a⋅c\forall a,b,c \in R,a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c

定义

  • 具有单位元的环 乘法运算 ⋅\cdot 拥有单位元的环
  • 交换群 乘法运算 ⋅\cdot 满足交换律的环

性质

  • 加法单位元： x+a=a→x=0x+a=a \rightarrow x=0
  • a+x=0→x=−aa+x=0 \rightarrow x=-a
  • a+b=a+c→b=ca+b=a+c \rightarrow b=c
  • n⋅(a+b)=na+nbn\cdot(a+b) = na+nb
  • (m+n)a=ma+na(m+n)a=ma+na
  • (m⋅n)=m(na)(m\cdot n)=m(na)
  • −(a+b)=−a−b-(a+b) = -a-b
  • −(a−b)=−a+b-(a-b)=-a+b

定理

  • a⋅0=0⋅a=0a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0
  • a⋅(−b)=(−a)b˙=−(a⋅b)a \cdot (-b) = (-a) \dot b = -(a \cdot b)
  • (−a)⋅(−b)=a⋅b(-a) \cdot (-b) = a \cdot b
  • a⋅(b−c)=a⋅b−a⋅c;(b−c)⋅a=b⋅a−c⋅aa \cdot (b - c) = a \cdot b - a \cdot c; (b - c) \cdot a = b \cdot a - c \cdot a

定义 一个有单位元环的一个元 bb 叫做元 aa 的一个逆元，假如 ab=ba=1ab=ba=1，此时称 aa 是一个可逆元

定理 在环 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 中，∀a1,⋯ ,am,b1,⋯ ,bn∈R\forall a_1, \cdots, a_m, b_1, \cdots, b_n \in R，有 (∑i=1mai)⋅(∑j=1nbj)=∑i=1m∑j=1nai⋅bj(\sum^m_{i=1}a_i) \cdot (\sum^n_{j=1}b_j)=\sum^m_{i=1}\sum^n_{j=1}a_i \cdot b_j

推论 在环 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 中，对于任意的 a,b∈R,n∈Za,b \in \bm{R}, n \in \bm{Z}，有 (na)⋅b=a⋅(nb)=n(a⋅b)(na) \cdot b = a \cdot (nb) = n(a \cdot b)

定理 有单位元的交换环 (R,+,⋅)(R, +, \cdot)，a,b∈R,n∈Za,b \in \bm{R}, n \in \bm{Z}，二项式定理成立：(a+b)n=an+(n1)an−1b+⋯+(nk)an−kbk+⋯+bn(a+b)^n = a^n + \begin{pmatrix}n \\ 1\end{pmatrix}a^{n-1}b + \cdots + \begin{pmatrix}n \\ k\end{pmatrix}a^{n-k}b^k + \cdots + b^n

整环

消去律（允许消去非 0 的数）并非对所有环都成立

定义 如果一个环，a≠0,b≠0a \ne 0, b \ne 0，但 ab=0ab=0 则称 aa 是这个环的一个左零因子，bb 是一个右零因子

定义 只含有一个元素的环 RR 称为平凡环；如果一个环 RR 没有左零因子（那么自然也没有右零因子），则称为无零因子环

定理 在一个没有零因子的环里两个消去律都成立（消去律成立的环也必然是无零因子环）：

  • a≠0,ab=ac⇒b=ca \ne 0, ab=ac \Rightarrow b=c
  • a≠0,ba=ca⇒b=ca \ne 0, ba=ca \Rightarrow b=c

推论 环 RR 乘法满足左消去律 ⇔\Leftrightarrow 环 RR 满足右消去律

上述两条可归纳为：
无零因子环⇔消去律成立⇔((a≠0,ab=ac⇒b=c)⇔(a≠0,ba=ca⇒b=c))\text{无零因子环} \Leftrightarrow \text{消去律成立} \Leftrightarrow ((a \ne 0, ab=ac \Rightarrow b=c) \Leftrightarrow (a \ne 0, ba=ca \Rightarrow b=c))

定义 一个非平凡环 RR 在满足下述要求时称为一个整环（无零因子非平凡交换环）：

  • 乘法交换律：ab=baab=ba
  • 没有零因子：∀a,b∈R,ab=0⇒a=b∣∣b=0\forall a,b \in R, ab=0 \Rightarrow a=b || b=0

其他版本定义中，整环要求存在单位元

定义 高斯整环 Z[i]={a+bi∣∀a,b∈Z}Z[i]=\{a+bi|\forall a,b \in \bm{Z}\}

除环

定义 一个环 RR 在满足下述条件时，称为除环（群+群-乘法零因子逆元）

  • 至少包含一个不为零的元
  • 有单位元
  • 每一个不等于零的元存在逆元

性质

  • 除环没有零因子
  • 除环除零外所有元素对乘法运算构成一个群 (R∗,⋅)(R^*, \cdot)

定义 一个交换除环称为一个域

性质

  • ab=cd⇒ad=bc\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow ad=bc
  • ab=cd⇒ad+bcbd\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow \frac{ad+bc}{bd}
  • abcd=acbd\frac{a}{b}\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}

推论 域没有零因子，域是一个整环

定理 一个至少含有两个元素的无零因子的有限环是除环

推论 有限整环是除环

定理 一个有限整环是一个域

子环

定义　一个环 RR 的一个子集 SS 叫做 RR 的一个子环，假如 SS 本身对于 RR 的代数运算来说构成一个环，则称 SS 是 RR　的一个子环，记作 S≤RS \le R

设 S≤RS \le R 且 S≠RS \ne R，则称 SS 是 RR 的一个真子环；每一个环都拥有子环 0{\bm{0}} 和 RR，称为平凡子环

环 RR 的非空子集 SS 是一个子环 ⇔\Leftrightarrow a,b∈S⇒a−b∈S,ab∈Sa,b \in S \Rightarrow a-b \in S, ab \in S

一个除环 RR 的子集 SS 是一个子除环的充要条件：

  • SS 包含一个非零元
  • a,b∈S⇒a−b∈Sa,b \in S \Rightarrow a-b \in S
  • a,b∈S,b≠0,ab−1∈Sa,b \in S, b \ne 0, ab^{-1} \in S

性质

  • RR 是交换环，SS 是交换环
  • SS 是交换环，RR 未必是交换环
  • RR 无零因子，SS 无零因子
  • SS 无零因子，RR 未必无零因子
  • RR 有单位元，SS 未必有单位元
  • SS 有单位元，RR 未必有单位元

环的同态

定义 环 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 到环 (S,∨,∧)(S,\vee,\wedge) 的映射 ff，如果保持运算: ∀a,b∈R,f(a+b)=f(a)∨f(b),f(a⋅b)=f(a)∧f(b)\forall a,b \in R, f(a + b)=f(a) \vee f(b), f(a \cdot b) = f(a) \wedge f(b)，则称 ff 是 R→SR \rightarrow S 的环同态映射
如果 ff 是满射（单射，双射），则称 ff 为 R→SR \rightarrow S 的满同态（单一同态，同构）
如果环 RR 到环 SS 存在同构映射，称 RR 与 SS 同构，记为 R≅SR \cong S

定理 假定 RR 与 R‾\overline{R} 是两个环，并且 RR 与 R‾\overline{R} 同态，那么

  • RR 零元的像是 R‾\overline{R} 的零元
  • RR 的元 aa 的负元像是 aa 的像的负元
  • 如果 RR 是交换环，那么 R‾\overline{R} 也是交换环
  • 如果 RR 有单位元 11，那么 R‾\overline{R} 也有单位元 1‾\overline{1}

性质
设 ff 是 R→SR \rightarrow S 的满同态

  • RR 是交换环，SS 是交换环
  • SS 是交换环，RR 未必是交换环
  • RR 无零因子，SS 未必无零因子
  • SS 无零因子，RR 未必无零因子
  • RR 有单位元 11，SS 有单位元 f(1)f(1)
  • SS 有单位元，RR 未必有单位元

零因子在环同态下不保持：零因子的像不一定是是零因子，非零因子的像不一定不是零因子
在 Z\bm{Z} 和 Z6\bm{Z}_6 的映射 ϕ(n)=[n]\phi(n) = [n]，Z\bm{Z} 没有零因子，而 Z6\bm{Z}_6 的 [2],[3],[4][2],[3],[4] 都是零因子

定理 假设 RR 和 R‾\overline{R} 是两个环，并且 R≅R‾R \cong \overline{R}。那么

  • 若 RR 是整环，R‾\overline{R} 也是整环
  • 若 RR 是除环，R‾\overline{R} 也是除环
  • 若 RR 是域，R‾\overline{R} 也是域

环的构造方法

矩阵环

定义 环 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 与环 (S,∨,∧)(S,\vee,\wedge) 的直积记为 (R×S,∘,∗)(R \times S, \circ, *):

  • (r1,s1)∘(r2,s2)=(r1+r2,s1∨s2)(r_1,s_1) \circ (r_2,s_2) = (r_1+r_2, s_1 \vee s_2)
  • (r1,s1)∗(r2,s2)=(r1⋅r2,s1∧s2)(r_1,s_1) * (r_2,s_2) = (r_1 \cdot r_2, s_1 \wedge s_2)

定理 环 (R,+,⋅)(R,+,\cdot) 与环 (S,∨,∧)(S,\vee,\wedge) 的直积 (R×S,∘,∗)(R \times S, \circ, *) 也是环

定理 设 RR 是具有单位元的交换环，则元素属于 RR 的 nn 阶矩阵集合 M(n×n;R)M(n \times n;R)，关于矩阵加法 ++、矩阵乘法 ⋅\cdot，构成有单位元的环 (M(n×n;R),+,⋅)(M(n \times n;R),+,\cdot)

定义 设 RR 是具有单位元的交换环，环 (M(n×n;R),+,⋅)(M(n \times n;R),+,\cdot) 称为 RR 上的 nn 阶矩阵环。如：环 (M(n×n;Z),+,⋅)(M(n \times n;\bm{Z}),+,\cdot) 是整数环上的 nn 阶矩阵环

多项式环

定义 设 x∈R0x \in R_0，若不存在不全为零的元素 a0,a1,⋯ ,am∈Ra_0,a_1,\cdots,a_m \in R，使得 a0+a1x+⋯+amxm=0,∀m∈Za_0 + a_1x + \cdots + a_mx^m=0, \forall m \in \bm{Z}，则称 xx 是环 RR 上的不定元（超越元），称 RR 上关于 xx 的多项式是 RR 上的一元多项式

定理　假设 RR　是一个有单位元的交换环，则一定存在环 RR 上的不定元 xx，因此 RR 上的一元多项环 R[x]R[x] 存在

定义 设 aa 是具有单位元的交换环 RR 上的一个不定元，一个可以写成 a0+a1α+⋯+anαna_0+a_1\alpha+\cdots+a_n\alpha^n 的形式的 R0R_0 的元叫做 RR 上的 α\alpha 的一个多项式。aia_i 叫做多项式的系数（ai∈R,n∈Na_i \in \bm{R},n \in \bm{N}）

定理 设 RR 是具有单位元的交换环，R[x]={a0+a1x+⋯+anxn∣a0,⋯ ,an∈R,n∈N}R[x] = \{a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n|a_0,\cdots,a_n\in \bm{R}, n\in \bm{N}\}，则 (R[x],+,⋅)(R[x], +, \cdot) 构成有单位元的交换环，称之为 RR 上的多项式环

定义 设 RR 是具有单位元的交换环，称 (R[x],+,⋅)(R[x],+,\cdot) RR 上的多项式环

推论 设 RR 是具有单位元的交换环，规定映射 f:R→R[x]f: R \rightarrow R[x] 为 f(r)=r+0x+0x2+⋯+0xn=r,∀r∈Rf(r)=r+0x+0x^2+\cdots+0x^n=r,\forall r \in R。则 ff 是 R→R[x]R \rightarrow R[x] 的单一同态。环 RR 科看作环 R[x]R[x] 的一个子环

定理 假设 RR 是一个具有单位元的交换环，nn 为任意正整数，则一定存在环 RR 上的 nn 个无关不定元 x1,⋯ ,xnx_1,\cdots,x_n，因此 RR 上的多元多项式环 R[x1,⋯ ,xn]R[x_1,\cdots,x_n] 是存在的。其中，无关指 ∑i1⋯inai1⋯inx1i1⋯xnin=0⇔ai1⋯in=0,∀ai1⋯in∈R\sum_{i_1 \cdots i_n}a_{i_1 \cdots i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n} = 0 \Leftrightarrow a_{i_1\cdots i_n} = 0,\forall a_{i_1\cdots i_n}\in R

定理 设 RR 是具有单位元的整环，则 R[x]R[x] 也是具有单位元的整环

序列环

定理 设 RR 是有单位元的交换环，记 RN={<a0,a1,⋯>∣a0,a1,⋯∈R,n∈N}R^N=\{<a_0,a_1,\cdots>|a_0,a_1,\cdots \in R, n \in \bm{N}\}，且用记号 <ai><a_i> 表示无穷序列 <a0,a1,⋯><a_0,a_1,\cdots>。则 RNR^N 关于以下定义的加法 ++ 和卷积 ∗* 构成据有单位元的交换环 (RN,+,∗)(R^N,+,*)，称 (RN,+,∗)(R^N,+,*) 为 RR 上的序列环

定理 设 RR 是具有单位元的交换环，<a0,a1,⋯>∈RN<a_0,a_1,\cdots> \in R^N，则 <a0,a1,⋯><a_0,a_1,\cdots> 在 RNR^N 中有逆元素，当且仅当 a0a_0 在 RR 中有逆元素

推论 设 RR 是域，则 <a0,a1,⋯>∈RN<a_0,a_1,\cdots> \in R^N 有逆元素，当且仅当 a0≠0a_0 \ne 0

分式域

定理 设 RR 是整环，则可以构造一个域 FF，使得 RR 同构于 FF 的一个子环 R‾\overline{R}

  1. 构造 R×R∗={(a,b)∣a,b∈R,b≠0}R \times R^* = \{(a,b) | a,b \in R, b \ne 0\}。规定集合 R×R∗R \times R^* 上一个二元关系 ∼\sim: (a,b)∼(c,d)⇔ad=bc(a,b) \sim (c,d) \Leftrightarrow ad=bc。其中 R∗R^* 表示除去加法零元外的所有元素
    也即需要证明 (a,b)∼(c,d)(a,b) \sim (c,d) 等价关系存在

    • 自反性: ab=baab=ba，故 (a,b)∼(a,b)(a,b) \sim (a,b)
    • 对称性: cb=dacb=da，故 (c,d)∼(a,b)(c,d) \sim (a,b)
    • 传递性: ad=bc,cf=dead=bc, cf=de，则 af=bcd−1dec−1=beaf = bcd^{-1}dec^{-1}= be，故 (a,b)∼(e,f)(a,b) \sim (e,f)

    因此，等价关系将集合 R×R∗R \times R^* 分成了若干等价类，用 ab\frac{a}{b} 表示元素 (a,b)(a,b) 所在的等价类，令 FF 表示所有等价类的集合。即 F={ab∣a,b∈R,b≠0}F=\{\frac{a}{b}| a,b \in R,b\ne 0\}

  2. 在集合 FF 中规定加法运算 ++ (ab+cd=ad+bcbd\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}) 和乘法运算 ⋅\cdot (ab⋅cd=acbd\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd})
    由于 RR 不存在零因子，因此 b≠0,d≠0b \ne 0,d \ne 0，即 bd≠0bd \ne 0，则 ab+cd,ab⋅cd∈F\frac{a}{b} + \frac{c}{d}, \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} \in F
    若 ab=a1b1,cd=c1d1\frac{a}{b}=\frac{a_1}{b_1}, \frac{c}{d}=\frac{c_1}{d_1}，即 ab1=a1b,cd1=c1dab_1=a_1b,cd_1=c_1d
    则 (ad+bc)(b1d1)=(ab1)dd1+bb1(cd1)=(a1d1+b1c1)bd(ad+bc)(b_1d_1)=(ab_1)dd_1+bb_1(cd_1)=(a_1d_1+b_1c_1)bd
    因此 ad+bcbd=a1d1+b1c1b1d1\frac{ad+bc}{bd}=\frac{a_1d_1+b_1c_1}{b_1d_1}
    即 acbd=a1c1b1d1=a1c1b1d1\frac{ac}{bd}=\frac{a_1c_1}{b_1d_1}=\frac{a_1c_1}{b_1d_1}
    故，所规定的加法和乘法运算，其运算结果与代表的选择无关。规定的加法运算 ++ 和乘法运算 ⋅\cdot 是集合 FF 上的二元运算

  3. 证明集合 FF 为域

    • 对于所规定的加法运算 ++ 构成加群

      • 易知 ab+cd=cd+ab\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}
      • 计算可得
        ab+(cd+ef)=ab+cf+dedf=adf+bcf+bdebdf\frac{a}{b}+(\frac{c}{d}+\frac{e}{f})=\frac{a}{b}+\frac{cf+de}{df}=\frac{adf+bcf+bde}{bdf}
        (ab+cd+ef=ad+bcbd+ef=adf+bcf+bdebdf)(\frac{a}{b}+\frac{c}{d} + \frac{e}{f}=\frac{ad+bc}{bd}+\frac{e}{f}=\frac{adf+bcf+bde}{bdf})
        也即，加法满足结合律
      • 加法零元为 0b\frac{0}{b}: 0b+cd=bcbd=cd\frac{0}{b}+\frac{c}{d}=\frac{bc}{bd}=\frac{c}{d}
      • 对于任意一个元素 ab\frac{a}{b}，其负元为 −ab\frac{-a}{b}: ab+−ab=0b\frac{a}{b}+\frac{-a}{b}=\frac{0}{b}

      故集合 FF 对于所规定的加法运算 ++ 构成加群

    • 证明 F∗F^* (FF 中非零元素) 对于所规定的乘法运算 ⋅\cdot 构成交换群
      易知乘法满足交换律，结合律。乘法单位元为 aa\frac{a}{a}，元素 ab\frac{a}{b} 的逆元为 ba\frac{b}{a}。可以证明，乘法对于加法满足分配律

    故，(F,+,⋅)(F,+,\cdot) 构成域

  4. 构造域 (F,+,⋅)(F,+,\cdot) 的子环 R‾={qaq∣q,a∈R,q≠0}\overline{R}=\{\frac{qa}{q}|q,a \in R,q\ne 0\}。这里 qq 为某固定元素，aa 为环 RR 中任意元素
    规定映射 f:R→R‾f: R \rightarrow \overline{R} 为 f(a)=qaq,∀a∈Rf(a)=\frac{qa}{q},\forall a \in R
    下面证明 ff 是 R→R‾R \rightarrow \overline{R} 的同构映射，即 R≅R‾R \cong \overline{R}

    • 证明满射
      R‾\overline{R} 是 RR 的子环，且 f(a)=qaqf(a)=\frac{qa}{q}
      所有的 R‾\overline{R} 都会被映射
      故 ff 是满射
    • 证明单射
      对于 f(a)=f(b)f(a)=f(b)，即 qaq=qbq\frac{qa}{q}=\frac{qb}{q}
      即 (qa,q)∼(qb,q)(qa,q) \sim (qb,q)
      有 aq2=bq2aq^2=bq^2，由消去律，a=ba=b
      故 ff 是单射
    • 再证 ff 保持运算
      f(a)+f(b)=qaq+qbq=q2(a+b)q2=q(a+b)q=f(a+b)f(a)+f(b)=\frac{qa}{q}+\frac{qb}{q}=\frac{q^2(a+b)}{q^2}=\frac{q(a+b)}{q}=f(a+b)
      f(a)⋅f(b)=qaq⋅qbq=q2(ab)q2=q(ab)q=f(a⋅b)f(a) \cdot f(b) = \frac{qa}{q}\cdot\frac{qb}{q}=\frac{q^2(ab)}{q^2}=\frac{q(ab)}{q} = f(a \cdot b)

    因此，ff 为 R→R‾R \rightarrow \overline{R} 的同构映射，即 R≅R‾R \cong \overline{R}

理想子环

定义 环 RR 的一个非空子集 II 叫做一个理想子环，简称理想

  • II 是子群: a,b∈I⇒a−b∈Ia,b \in I \Rightarrow a-b \in I
  • 强闭合子环: a∈I,r∈R⇒ra,ar∈Ia \in I, r \in R \Rightarrow ra,ar \in I

定理 若 RR 有单位元，II 是 RR 的理想，则 I=R⇔1∈II=R \Leftrightarrow 1 \in I

定义 对于任意的环 RR，{0}\{0\} 和 RR 都是理想，分别为零理想和单位理想，只有零理想和单位理想的环称为单环

定理 除环是单环，域是单环

证明

只需要证，对于除环，所有非零理想，都是单位理想即可
设 II 是 RR 的非零理想，那么 ∀a≠0∈I\forall a \ne 0 \in I
因为 RR 是除环，故 ∃a−1∈R\exists a^{-1} \in R
因为 II 是理想，故 a⋅a−1=1∈Ia \cdot a^{-1} = 1 \in I
对于任意的 r∈Rr \in R，根据理想定义，有 1⋅r=r∈I1 \cdot r = r \in I
故 ∀r∈R,r∈I\forall r \in R, r \in I
因此 R=IR=I，RR 是单位理想

定理 设 aa 是交换环 RR 的元素，则集合 I={ar+na∣r∈R,n∈Z}I=\{ar+na|r \in R,n \in \bm{Z} \} 是 RR 的理想。称其为由元素 aa 生成的主理想，记为 (a)(a)

证明

∀ar1+n1a,ar2+n2a∈I,r1,r2∈R,n1,n2∈Z\forall ar_1+n_1a, ar_2+n_2a \in I, r_1,r_2 \in R, n_1,n_2 \in \bm{Z}
(ar1+n1a)−(ar2+n2a)=a(r1−r2)+(n1−n2)a∈I(ar_1+n_1a) - (ar_2+n_2a)=a(r_1-r_2)+(n_1-n_2)a \in I
∀t∈R,(ar1+n1a)t=ar1t+n1at=a(r1t+n1t)∈I\forall t \in R, (ar_1+n_1a)t = ar_1t+n_1at = a(r_1t+n_1t) \in I

若 RR 是具有单位元的交换环，(a)(a) 是由所有 aa 的倍元组成，即 (a)={ar∣r∈R}(a)=\{ar|r \in R\}

证明

na=n(ea)=(ne)a=a(ne)=anna = n(ea) = (ne)a = a(ne) = an

可看为

a+a+⋯+a⏞n个=ea+ea+⋯+ea⏞n个=a+a+⋯+a⏞ne个\overbrace{a + a + \cdots + a}^{n\text{个}} = \overbrace{ea + ea + \cdots + ea}^{n\text{个}} = \overbrace{a + a + \cdots + a}^{ne\text{个}}

定义 A\frak{A} 包含所有可以写成 s1+s2+⋯+sm(si∈(a))s_1+s_2+\cdots+s_m(s_i\in(a)) 形式的 RR 的元，则 A\frak{A} 为包含 a1,a2,⋯ ,ama_1,a_2,\cdots,a_m 的最小理想，使用 (a1,a2,⋯ ,am)(a_1,a_2,\cdots,a_m) 来表示这个理想

定理 设 FF 是域，0≠a∈F0 \ne a \in F，则 F=(a)={ar∣r∈F}F=(a)=\{ar|r \in F\}

定理 理想不一定具有传递性: NN 是 RR 的理想，II 是 NN 的理想，那么 II 不一定是 RR 的理想

商环

定义 若 II 是环 RR 的理想，则 (R/I,+,⋅)(R/I,+,\cdot) 构成环，称为 RR 关于 II 的上商环，记为 R/I={I+r∣r∈R}R/I = \{I+r|r \in R\}。也称为 RR 关于 II 的剩余类环
其中，运算为：

  • (I+r1)+(I+r2)=I+(r1+r2)(I+r_1)+(I+r_2) = I+(r_1+r_2)
  • (I+r1)⋅(I+r2)=I+(r1⋅r2)(I+r_1)\cdot(I+r_2)=I+(r_1 \cdot r_2)

素理想

定义 如果 RR 是交换环，II 是 RR 的真理想（I≠RI \ne R），若 ∀a,b∈R\forall a,b \in R，当 ab∈Iab\in I，可推出 a∈I或b∈Ia\in I 或 b\in I ，则称 II 是 RR 的素理想

定理 设 RR 是交换环，II 是交换环 RR 的理想，则 I是R的素理想⇔R/I是整环I\text{是}R\text{的素理想} \Harr R/I\text{是整环}

推论 FF 是域，(x)(x) 是 F[x]F[x] 的素理想，故 F[x]/(x)F[x]/(x) 是整环

极大理想

定义 环 RR 的一个不等于 RR 的理想 II (I≠RI \ne R) 称为 RR 的极大理想，假设除 RR 和 II 外，RR 中没有包含 II　的其他理想

定理 RR 是有单位元的交换环，II 是 RR 的理想，I是R的极大理想⇔R/I是域I \text{是} R \text{的极大理想} \Lrarr R/I \text{是域}

定理 整数环中，素数 pp 生成的主理想 (p)(p) 可得到 Z/(p)\bm{Z}/(p) 是域

定理 设 RR 是有单位元的交换环，II 是 RR 的极大理想，则 II 是 RR 的素理想

环同态基本定理

设 ff 是一个环 RR 到另一个环 R‾\overline{R} 的一个同态满射，R‾\overline{R} 的零元 0‾\overline{0} 在 ff 之下的所有逆像所做成的 RR 的子集叫做同态满射的核，记为 kerffkerf f。即 Kerf=f−1(0‾)={x∣x∈R,f(x)=0‾}Kerf = f^{-1}(\overline{0})=\{ x | x \in R, f(x)=\overline{0} \}

定理　设 ff 是 G−>HG->H 的一个群同态映射，则

  • Kerf={g∈G∣f(g)=eH}\text{Ker} f=\{g\in G|f(g)=e_H\}
  • Imf\text{Im} f 是 HH 的子群，且商群 G/Kerf≅ImfG/\text{Ker} f\cong \text{Im} f

定理 假定 RR 和 R‾\overline{R} 是两个环，并且 RR 和 R‾\overline{R} 满同态，那么这个同态满射的核 A\frak{A} 是 RR的一个理想，并且 R/A≅R‾R/\frak{A} \cong \overline{R}

环同态基本定理
设 ff 是 R→SR \rarr S 的环同态映射，则 R/Kerf≅ImfR/\text{Ker}f \cong \text{Im}f
设 ff 是 R→SR \rarr S 的满同态，则 R/Kerf≅SR/\text{Ker}f \cong S

例子

证明 R[x]/(x2+1)≅C\bm{R}[x]/(x^2+1) \cong \bm{C}，其中 (x2+1)(x^2+1) 表示 R[x]\bm{R}[x] 中由 x2+1x^2+1 生成的主理想

(x2+1)={(x2+1)g(x)∣g(x)∈R[x]}(x^2+1)=\{(x^2+1)g(x)|g(x) \in \bm{R}[x]\}
构造商环 R[x]/(x2+1)={(x2+1)+f(x)}\bm{R}[x]/(x^2+1)=\{(x^2+1)+f(x)\}
C={a+bi∣a,b∈R}\bm{C}=\{a+bi|a,b \in \bm{R}\}

规定 ϕ:R[x]→C\phi: \bm{R}[x] \rarr \bm{C}
ϕ(f(x))=f(i),i=−1,∀f(x)∈R[x]\phi(f(x))=f(i),i=\sqrt{-1},\forall f(x)\in\bm{R}[x]
因为 ϕ\phi 是映射， 满射，保持加、乘运算

  • ϕ(f+g)=ϕ(f)+ϕ(g)\phi(f+g)=\phi(f)+\phi(g)
  • ϕ(f⋅g)=ϕ(f)⋅ϕ(g)\phi(f \cdot g)=\phi(f) \cdot \phi(g)

故 ϕ\phi 是 R[x]→C\bm{R}[x]\rarr\bm{C} 的满同态

∀f(x)∈Kerϕ,ϕ(f(x))=f(i)=0\forall f(x) \in \text{Ker}\phi,\phi(f(x))=f(i)=0
可知，ii 是多项式 f(x)f(x) 的根，从而 −i-i 也是 f(x)f(x) 的根
因此，f(x)f(x) 包含 (x−i)(x+i)=(x2+1)(x-i)(x+i)=(x^2+1) 的因子
则 f(x)∈(x2+1)f(x) \in (x^2+1)
反之 ∀g(x)∈(x2+1),g(x)=(x2+1)h(x),g(i)=0,g(x)∈Kerϕ\forall g(x) \in (x^2+1), g(x)=(x^2+1)h(x), g(i)=0, g(x)\in\text{Ker}\phi
所以 Kerϕ={(x2+1)p(x)∣p(x)∈R[x]}=(x2+1)\text{Ker}\phi=\{(x^2+1)p(x)|p(x)\in\bm{R}[x]\}=(x^2+1)

由环同态基本定理，R[x]/(x2+1)≅C\bm{R}[x]/(x^2+1)\cong\bm{C}

定理 在环 RR 到环 R‾\overline{R} 的一个同态满射之下

  • RR 的一个子环 SS 的像 S‾\overline{S} 是 R‾\overline{R} 的一个子环
  • RR 的一个理想 A\frak{A} 的像 A‾\overline{\frak{A}} 是 R‾\overline{R} 的一个理想
  • R‾\overline{R} 的一个子环 S‾\overline{S} 的逆像 SS 是 RR 的一个子环
  • R‾\overline{R} 的一个理想 A‾\overline{\frak{A}} 的逆像 A\frak{A} 是 RR 的一个理想